對數 logarithm 來自拉丁化兩個希臘字 logos-arithmos 的合併， 直譯為 ratio-number，比例數。 取這個名字的原因，可能是因為當初的動機是發現了， 如果把等比數列寫成次方形式，則它們的指數會形成等差數列。 當它在明朝末年首次傳入中國的時候，就翻譯成「比例數」。 當時把 \(a=10^u\) 的數對 \((a,u)\)「對列成表」， 稱為「對數表」（logarithm table 或 table of logarithm）， 其中 \(a\) 稱為「原數」，到了康熙時代改稱「真數」， 而「與 \(a\) 相對的數」最後就稱為「\(a\) 的對數」了，記作 \(\log a\)。 例如「與 2 相對的數大約是 0.3010」記作 \(\log2\approx 0.3010\)。
在數對 \((a,u)\) 的關係 \(a=10^u\) 中，底數 10 也稱為 \(\log a\) 的底數。 以 10 為底的對數（logarithm to the base ten）記作 \(\log_{10}\)： 把底數 10 寫成 log 的足標或下標（subscript）。 而 \(\log_{10} 2\) 讀作 log base ten of two。 Logarithm to the base ten 稱為常用對數 common logarithm。 任何除了一以外的正數 \(b\)，記作 \(0\lt b\not=1\)： For any number \(b\) which is greater than zero but not equal to one， 都可以作為關係式 \(a=b^u\) 的底數，而以 \(b\) 為底的對數 \(a\) （log to the base \(b\) of \(a\)）記作 \(\log_b a\)， 例如 \(\log_2 8=3\)：log base two of eight is three。
雖然有很多可能的底數 \(b\)，但通常只用三種底。 除了 10 以外，還有常數 \(e\)（建議讀作ㄝ以免跟「壹」混淆）。 \(\log_e\) 稱為自然對數（natural logarithm），記作 \(\ln\)。 符號 ln 是 natural logarithm 的拉丁文 logarithmus naturalis（形容詞放在名詞後面）的首字母縮寫； 它可以簡讀作 L-N 或 long，但其實很多人還是把它讀作 log。 而常數 \(e\) 就稱為自然對數的底（base of natural logarithms）。 最後還有 binary logarithm \(\log_2\)，近年越來越常用 \(\lg\) 表示 \(\log_2\)， 但其實在歷史上，\(\lg\) 曾經是 common logarithm \(\log_{10}\) 的符號。 符號 lg 建議讀 log base two，或者還是讀 log。
對數的形容詞是 logarithmic，例如對數方程是 logarithmic equation。 而對數律則是對數等式 logarithmic identities 或者 rules for logarithms。
只要明白 any positive number a 都滿足 \(a=10^{\displaystyle\log a}\)， 就很清楚：對數律只不過是指數律的另一種形式而已。 本質上，只有如下三條對數律 （注意前提：真數 \(a\), \(c\) 皆為正數，底數 \(0\lt b\not=1\)）：
| [語音講解：log.mp3] |