矩陣 matrix（複數為 matrices）原本的意思是「母體」或「基礎」，在十九世紀被用來指稱組成 \(n\) 階行列式的那 \(n^2\) 個排成正方形的數，例如 \(\displaystyle\left|\array{a & c\\b & d}\right|\) 的「母體」或「基礎」就是 \(\displaystyle\array{a & c\\b & d}\)。 行列式的 matrix 一定排列成正方形，後來將 matrix 觀念一般化，容許不一定是正方形的矩形排列，例如 \(\displaystyle\array{1 &3&5\\2&4&6}\)。 所以中文就將這種「母體」翻譯成「矩陣」了。而正方形矩陣 square matrices 也可以特別稱為「方陣」。後來為了讓矩陣與向量的符號相容，使得只有一行的矩陣成為行向量 (column vector)，或者只有一列的矩陣成為列向量 (row vector)，於是就用圓括號 (round brackets) 包住矩陣。例如 \[\left(\array{1 &3&5\\2&4&6}\right)\] 有二列三行 (2 rows and 3 columns)，它是一個「二乘三矩陣」a 2\(\times\)3 (two by three) matrix，而「二乘三 / two by three」稱為矩陣的維度 the dimension of a matrix。二階方陣 a square matrix of order 2 也可以說是二乘二矩陣 a matrix of dimension 2 by 2。\(n\) 維行向量即是 \(n\times1\) 矩陣，\(n\) 維列向量則是 \(1\times n\) 矩陣。
矩陣的一般性符號，習慣寫成像這樣： \[A=(a_{ij})_{m\times n}\] 意思是 \(A\) 為 \(m\times n\) 矩陣，其元素 elements / entries 的一般項為 \(a_{ij}\)，雙足標 (two subscripts) 的第一個足標代表列，第二個足標代表行，兩個足標之間本該有逗點，但是可以在適當的時候省略逗點。例如
\(a_{23}\) / \(a_{2,3}\) represents the element of matrix \(A\) at the second row and the third column.
\(m\times n\) 矩陣可以視為 \(n\) 個行向量或者 \(m\) 個列向量的組成，例如 \[A=\left(\array{1 &3&5\\2&4&6}\right) =\bigl(\array{\boldsymbol{u}_1 &\boldsymbol{u}_2&\boldsymbol{u}_3}\bigr) =\left(\array{\boldsymbol{v}_1^T \\ \boldsymbol{v}_2^T}\right)\] 其中 \(\boldsymbol{u}_1=\displaystyle{1\choose2}\)、\(\boldsymbol{u}_2=\displaystyle{3\choose4}\)、\(\boldsymbol{u}_3=\displaystyle{5\choose6}\)，\(\boldsymbol{v}_1^T=(\array{1&3&5})\)、\(\boldsymbol{v}_2^T=(\array{2&4&6})\)。但是在線性代數 (linear algebra) 的文件裡，習慣寫成 \(n\) 個行向量 \[A=\bigl(\array{\boldsymbol{A}_1& \boldsymbol{A}_2&\cdots& \boldsymbol{A}_n}\bigr)\] 每個 \(\boldsymbol{A}_j\) 是一個 \(m\) 維向量。
矩陣成為一種數學物件，有其關係與作用。最基本的關係是相等。這很直覺：兩個矩陣的維度相同，且每個同樣位置的元素都相等時，則稱兩個矩陣相等，否則就稱它們不相等。矩陣之間沒有大小關係。矩陣之間的另一種關係是轉置 transpose。
當矩陣 \(A\) 如上述，它的轉置矩陣 the transpose of a matrix 是 \[A^T=\left(\array{\boldsymbol{A}_1^T\\ \boldsymbol{A}_2^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{A}_n^T}\right)\] 因此 \(A^T\) 的維度變成了 \(n\times m\)；其實把各元素的足標對調即是轉置： \[A^T=(a_{ji})_{n\times m}\] 轉置關係是互相的：兩個矩陣互為轉置，所以 \[\bigl(A^T\bigr)^T=A\]
The transpose of the transpose matrix is equal to the original matrix.當 \(m=n\)，方陣 \(A\) 的行列式習慣寫成 \(\det A\)，而行列式的轉置性質就有了簡潔的表達： \[\det A^T=\det A\]
矩陣的係數積 (scalar multiplication) 定義為 \[c A=(c\, a_{ij})_{m\times n}\] 也就是矩陣內的每個元素都乘以係數 \(c\)。應用行列式的 multilinearity，當 \(m=n\) 時 \[\det(cA) = c^n\det A\]
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