形如 \((x+y)^n\) 的二元 \(n\) 次多項式就是一個二項式 (a binomial)； Binomial 是名詞也是形容詞，例如展開的二項式稱為二項展開：binomial expansion， 機率中的二項分佈：binomial distribution，都是當形容詞用。 只要是「兩項」(two terms) 的多項式──當然是指同類項合併 (combining like terms) 之後──都稱為 binomials， 例如 \(x^2-y^2\) 也是 a binomial；但是中文很少這樣寫。
展開 (to expand) 二項式 \((x+y)^n\) 的意思就是讓 \(n\) 個 \(x+y\) 相乘， 把每一項整理成 \(x^ky^{n-k}\) 的形式，這時候 \(k\) 不超過 \(n\)。 把同類項 (like terms 或 similar terms) 相加，合併成一項 \(px^ky^{n-k}\)， 這一項的係數 \(p\) 就是相乘之後，產生多少個 \(x^ky^{n-k}\) 的數量。
\(n\) 個 \(x+y\) 相乘，會產生多少個 \(x^ky^{n-k}\) 呢？ 每個 \(x+y\) 不是選 \(x\) 就是選 \(y\)， 這是只分成兩類──\(x\) 類和 \(y\) 類──的不盡相異物排列， 所以共有 \[{n!\over k!\;(n-k)!}\] 種選出 \(k\) 個 \(x\)、\(n-k\) 個 \(y\) 的排列。 換句話說，這就是 \(x^ky^{n-k}\) 的係數。 因為只分兩類的不盡相異物排列數量就是組合數，所以得到結論：
在 \((x+y)^n\) 的展開式 (expansion) 當中，\(x^ky^{n-k}\) 的係數是 \(\displaystyle{n\choose k}\)。這個簡單的結論有重要的歷史意義，因此有個名字：二項式定理 (binomial theorem)。 它就是說 \[ (x+y)^n = {n\choose0}x^n + {n\choose 1}x^{n-1}y + {n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n}y^n \] 也可以寫成 \[(x+y)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}x^k y^{n-k}\]
因為前述原因，組合數 (combinatorial numbers) 也稱為二項式係數 (binomial coefficients)
分組分堆的組合問題 (combination into bins) 其實就是分成三類或更多類的不盡相異物排列，也可以視為組合觀念的推廣： 將 \(n\) 個相異物貼上第 1 組、第 2 組、第 3 組、……、第 \(r\) 組的標籤； 貼上標籤之後，就不再理會物件的任何特徵或屬性 (attributes)， 同樣標籤的物件都視為相同物。 如果各類有 \(p_1, p_2, \cdots, p_r\) 個相同物， 則這 \(n\) 個物件有 \[{n!\over p_1!\;p_2!\;\cdots\;p_r!}\] 種排列方式，也就是有這麼多種分組的方式。
額外要考慮的是：是否需要區分「組」的不同？ 典型的例子是將 9 名同學平分為三組（每組 3 人）， 假如這三組將要每週一組依序上台報告，則「組」應該有分別， 那麼分組的情況就是不盡相異物排列；也就是共有 \[ {9!\over 3!\;3!\;3!} = 1680 \] 種分組的結果。但是如果這三組將在同一堂課裡討論同一個議題， 而且不必考慮同學才能的特殊性，則「組」就沒有分別。 這時候「組」的各種排列全都視為相同，所以要再除以「組」的排列數，也就是共有 \[ {9!\over 3!\;3!\;3!} \div (3!) = 1680\div6=280 \] 種分組的結果。
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