數學英文

機率算則

事件 $E$ 發生的機率記作 $P(E)$，讀作 the probability of the event $E$ 或者 P of E。 不論用什麼方式獲得機率，它們都適用於機率算則 (probability rules)。 這套算則所做的最基本規定就是：機率必須介於 0 與 1 之間 (inclusive)：$0\le P(E)\le 1$； 不可能發生的事件，其機率為 0：The probability of an impossible event is zero， 絕對會發生的事件，其機率為 1：The probability of a certain event is one。 所以 $P(S)=1$，其中 $S$ 代表整個樣本空間 (sample space)。 因此就可以推論：

1. 任一事件 $E$ 與其餘事件 (complement) $E^c$ 的機率之和為 1， 通常記作 $P(E^c)=1-P(E)$。
2. 推廣以上算則，當一組事件 $E_1$、$E_2$、$\cdots$、$E_n$ 是樣本空間的一個分割 (a partition of the sample space)， 則它們的全機率／總機率 (total probability) 是 1： $$P(E_1)+P(E_2)+\cdots +P(E_n)=1$$

用「或 / or」連結在一起的事件，我們稱為「和事件」，英文似乎沒有特別的稱呼， 就說它是一種複合事件 (compound event)。 對於「$A$ 或 $B$」這種事件的機率，記作 $P(A\text{ or }B)$， 英文倒是有個名稱：機率加法律 (addition rule 或 or-rule of probabilities)：

• 如果那個「或 / or」其實是互斥的或 (exclusive or)， 這也是西方教材在初學機率的第一年或前兩年都採用的情境，則 $$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)$$
• 一般而言， $$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$$

用「且 / and」連結在一起的事件，我們稱為「積事件」。 類似地，英文沒有「積事件」的對應專用術語， 只有「機率乘法律」(multiplication rule 或 and-rule of probabilities)：

• 如果那個「且 / and」是指彼此獨立的兩事件 (independent events) 都發生， 這也是西方教材在初學機率的第一年或前兩年都採用的情境，則 $$P(A\text{ and }B)=P(A)\times P(B)$$

西方教材憑經驗判斷事件的互斥、獨立，用語言描述事件之間的互斥、獨立關係， 並當作引用機率算則的先驗假設 (a priori hypothesis)； 我國教材反而用機率運算來驗證事件的互斥、獨立， 但是到了應用的時候，卻又不事先驗證而當作先驗假設。 這樣的概念差異，使得我國的機率教學比較像純數學， 而學生在應用機率算則時，也可能比較缺乏穩固的概念。