多項式 (polynomial) 是數學家 (mathematicians) 在第九到十七世紀逐漸熟悉了一次聯立方程、二次方程、三次方程、直線方程式、二次曲線方程式（包括圓方程式）之後，逐漸從這些數學式抽象出來（動詞、形容詞：abstract，名詞：abstraction）的數學物件 (mathematics object)。 例如，從二次方程 \(x^2-3x+7=0\) 粹取／摘要（abstract 的另兩個中文意涵）出來的 \(x^2-3x+7\)，從直線方程式 \(2x-3y+1=0\) 粹取出來的 \(2x-3y+1\)，從圓方程式 \(x^2+y^2=4\) 粹取出來的 \(x^2+y^2-4\)，都是多項式。
nomial 的來源是拉丁文的「名字」：（單數 nomen，複數 nomina），中文稱為「元」。它就是一個「可以代入一個數」的佔位符號 (placeholder)，英文用 indeterminate 比較好。 跟隨韋達（法文：Viète，拉丁文／英文：Vieta）和笛卡耳的建議， 如今全世界都習慣用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 等符號作為「元」。
把各「元」和數值──這樣的數稱為係數 (coefficient)──乘在一起，稱為 monomial，其中 mono 字根是「單一」的意思，中文翻譯為「單項式」；例如 \(x^2\), \(-7x^5\) 和 \(2xy\) 甚至 \(4x^2yz^3\) 都是 monomials，它們是一元、二元或三元單項式：
Monomials in/of one, two, or three indeterminates.單項式的次方必須是正整數或零，其中 \(x^1\) 簡記為 \(x\)。 我們規定 \(x^0=1\)，所以 \(1\) 也是單項式。 根據以上規則，把「元」放到分母就不算 monomial 了， 例如 \(\displaystyle{1\over x}=x^{-1}\) 不是 monomial。
單項式的次數 (degree) 是每個元的指數和
The degree of a monomial is the sum of the exponents.所以 \(2xy\) 是二次 (second degree 或 of degree two)，而 \(4x^2yz^3\) 是六次 (of degree six)。
另外規定 \(0\) 也是單項式，規定它的次數是負無限大 (\(-\infty\)，negative infinity)。但是中學不討論 \(0\) 的次數。
把兩個單項式相加或相減，就是二項式：binomial，其中字根 bi 就是「二或雙」的意思；例如 \(2x^3-3x^2\)、\(x-1\)、\(x+y\)、\(x^2-y^2\) 都是二項式。 但 \((x+y)^4\) 並不是二項式，它是二項式的次方，可以「展開」(can be expanded) 成多項式。
字根 poly 是「多」的意思，polynomial（多項式）包括單項式、二項式，以及把三個或更個單項式相加或相減串起來的數學式。在多項式裡，每個單項式稱為一項 (one term)，而多項式的次數就是各項當中最高的次數：
The degree of a polynomial is the highest of the degrees of the individual terms.零次多項式又稱為常數多項式 (constant polynomial)，其中那個常數不得為 \(0\)。而 \(0\) 就特別稱為零多項式 (zero polynomial)。一次、二次、三次又稱為 linear、quadratic、cubic。零次項的係數就是常數項：
The coefficient of the term of degree 0 is called the constant term.係數皆為整數的多項式稱為整係數多項式
a polynomial over integers / \(\mathbb{Z}\)同理可以說有理係數多項式、實係數多項式、複係數多項式。
| [語音講解：polynom.mp3] |