多項式 (polynomial) 本身就是一種學物件 (mathematics object)。例如 \(x^2+2x+1\) 就是一個 \(x\) 的多項式 (a polynomial in \(x\))，可以用另一個符號代表它，例如說「令 \(P\) 為多項式 \(x^2+2x+1\)」：
Let \(P\) be the polynomail \(x^2+2x+1\). 或者 Let \(P:=x^2+2x+1\)。
多項式形成一種代數結構 (algebraic structure)， 多項式與多項式之間有相等關係，也能做加減乘除運算。 但是，只有代數領域的數學專業才會深入了解多項式的運算性質， 一般人（包括中學生）只是拿多項式當作方程或函數的表達式 (expression)。
當 \(P\) 是一元 \(n\) 次多項式
Let \(P\) be a polynomial in one indeterminate of degree \(n\).則等式 \(P=0\) 就稱為 \(n\) 次方程，這時候多項式的「元」就有了未知數 (unknown) 的意義：
polynomial equation with one unknown of degree \(n\).一次、二次、三次方程又稱為 linear equation、quadratic equation 和 cubic equation。
「解」是 solution，「根」是 root。多項式 \(P\) 的根就是方程 \(P=0\) 的解：
The roots of a polynomial \(P\) are the solutions of the equation \(P=0\)。
類似地，當 \(P\) 是 \(x\) 的 \(n\) 次多項式
Let \(P\) be a polynomial in \(x\) of degree \(n\).則函數 \(f(x)=P\) 就稱為 \(n\) 次多項式函數：
polynomial function of degree \(n\)中文可以簡稱為 \(n\) 次函數。這時候多項式的「元」就有了變數 (variable) 的意義。一次、二次、三次函數又稱為 linear function、quadratic function 和 cubic function。 同理，多項式函數 \(f(x)\) 的根就是方程 \(f(x)=0\) 的解：
The roots of a polynomial function \(f(x)\) are the solutions of the equation \(f(x)=0\).
當 \(P\) 是 \(x\) 和 \(y\) 的二元多項式：
Let \(P\) be a polynomial in \(x\) and \(y\).則等式 \(P=0\) 就是二元方程式：
A polynomial equation with two variables.它代表坐標平面上的一個圖形；例如 \(x^2+y^2-1=0\) 的圖形是單位圓。而三元方程式 (polynomial equations with three variables) 的圖形則是坐標空間中的曲面；例如 \(x^2+y^2+z^2-1=0\) 的圖形是單位球。
或者，當 \(P\) 和 \(Q\) 都是 \(x\) 和 \(y\) 的二元多項式，則 \[\left\{\array{ P=0\\ Q=0}\right.\] 是兩個未知數的聯立方程 (a system of equations in two unknowns)。
為了支援多項式的以上用途，我們必須會做基本的多項式加減乘除。其中除法很類似整數除法，西方稱為歐幾里德除法 (Euclidean division)，它的一般算法是直式除法：long division，又譯為長除法，但是當除式 (divisor) 為特殊一次式 \(x-a\) 時，有一種快速算法，稱為綜合除法：synthetic division。
因為有除法，所以兩個多項式之間也有因式和倍式關係。因式的英文跟正整數的一樣，就是 divisor 或者 factor。英文很少說倍式。多項式的因式分解稱為 factorization of polynomials 或者 polynomial factorization。 注意「因式」至少是一次多項式，所以常數不能當作多項式的因式。 相對於正整數當中的質數，不可分解的多項式稱為 irreducible polynomial，譯作不可約多項式。不可再分解的因式，就稱為不可約因式 (irreducible factors)。
多項式除法原理是歐幾里德除法引理 Euclidean division lemma (for polynomials)，用英文寫出來就跟正整數的情形一樣： \[\text{Dividend}=\text{Quotient}\times\text{Divisor}+\text{Remainder} \] 但是用中文寫，就特別表達了「式」跟「數」的差別： \[\text{被除式}=\text{商式}\times\text{除式}+\text{餘式}\]
| [語音講解：polyop.mp3] |