數學英文

比例

比例關係 (proportionality) 應該是國民教育的最主要目標； 一般人只要能夠掌握比例關係，就能解決生活情境中絕大部分的問題了。 當兩個比相等，記作 \(a:b=c:d\)，就說 \(a:b\) 和 \(c:d\) 成比例 (in proportion)：

\(a\) and \(b\) are in the proportion of \(c:d\)

\(a\) is to \(b\) as \(c\) is to \(d\)

當兩個比當中有一個未知數，例如 \(a:b\) 和 \(x:d\) 成比例，其中 \(x\) 未知， 則它們的等式 \(a:b=x:d\) 稱為比例式，英文還是說 proportion。 前面的比例式等價於一元一次方程 \(bx=ad\)； 一般而言，得知兩個（相等的）比當中的任三個數，就能決定第四個數。

口語說兩個變量 (two variables) 成比例時， 如果沒有特別聲明，意思就是它們成正比 (in direct proportion)： 用數學語言表達，就是假設兩個量 \(x\) 和 \(y\) 分別有一個特例的數值是 \(x_0\) 和 \(y_0\)，則 \[x:x_0 = y:y_0\] 就是 \(x\) 和 \(y\) 成正比，記作 \(x\propto y\) 或者 \(y\propto x\)， 符號 \(\propto\) 讀作「正比於」(is proportional to)。 前面的比例式等價於 \(x_0y=y_0x\)，若認為 \(y\) 跟隨 \(x\) 改變：

the change in \(y\) depends upon the change in \(x\)

兩個量的比例關係，除了正比還有反比 (inverse proportion)。 沿用前面的符號，如果 \[x:x_0 = y_0:y\] 則是 \(x\) 和 \(y\) 成反比 (in inverse proportion)。 因為這個比例式等價於 \(xy=x_0y_0\)，\(x\) 和 \(y\) 的函數關係寫成 \(y=\displaystyle{k\over x}\)，所以 \(x\) 和 \(y\) 成反比記作 \(y\propto\displaystyle{1\over x}\)， 意思是說 \(y\) 和 \(\displaystyle{1\over x}\) 成正比。

比例關係──正比／反比關係──是函數關係的最初經驗。

比率 (rate) 是指不同單位的兩個量的比值：

A rate is the quotient of a ratio where the quantities have different units.