數學英文

二次曲線

所謂二次曲線 (quadratic curves) 是指二元二次方程式

polynomial equations in 2 variables of degree 2 或 bivariate quadratic equations

以 \(x\)、\(y\) 為「元」的二元二次多項式之一般形式為 \[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F\] 其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 不全為 \(0\)；在此主題，數學習慣使用大寫字母表達係數。將滿足二元二次方程式 \[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\tag{1}\] 的解寫成有序對 (ordered pairs) \((x,y)\)，並將它們詮釋為坐標平面上的點，這些點聚集而成的圖形就是二次曲線，將它記作 \(\Gamma\)。

假如 \(B\not=0\)，存在一個 \([-45^\circ, 45^\circ]\) 範圍內的角 \(\theta\)，使得將 \(x\)-\(y\) 坐標繞原點旋轉 \(\theta\) 之後──令旋轉後的 \(x\) 軸和 \(y\) 軸分別稱為 \(X\) 軸和 \(Y\) 軸──在新的 \(X\)-\(Y\) 坐標之下，曲線 \(\Gamma\) 的點坐標 \((X,Y)\) 都滿足新的方程式： \[A^\prime X^2+C^\prime Y^2+D^\prime X+E^\prime Y +F^\prime=0\tag{2}\] 而它不再有 \(XY\) 項 (the \(xy\)-term 也可以說 the mixed term)。 也就是方程式 \((1)\) 做了變數變換 (change of variables) 之後，轉換成方程式 \((2)\)：

The equation \((1)\) transforms into equation \((2)\) having no more the mixed term.

假如 \(A\) 或 \(C\) 其中之一等於 \(0\)，而方程式 \((3)\) 仍保持為二元方程式 (bivariate equation)，則 \((3)\) 可以整理成以下形式 (the following forms)： \[y=c(x-h)^2+k\quad\text{或}\quad x=c(y-k)^2+h\] 它們就是以 \(x\) 或以 \(y\) 為自變數的二次函數，因此 \(\Gamma\) 就是二次函數的圖形，經常被稱為拋物線 (parabola)。但是拋物線的標準式 (standard equation) 卻習慣寫成 \[y^2=\pm ax\text{ 或 }x^2=\pm ay\text{，其中 }a\gt0\] 一般的拋物線方程式是其標準式的平移 (translation)。

假如 \(A\) 和 \(C\) 皆不等於 \(0\)，則方程式 \((3)\) 可以整理成以下形式： \[{(x-h)^2\over a^2}\pm{(y-k)^2\over b^2}=\pm1\text{ 或 }0\text{，其中 } a\gt0,\, b\gt0\tag{4}\] 此時二次曲線 \(\Gamma\) 可能是橢圓 (ellipse) 或雙曲線 (hyperbola)。橢圓的標準式是 \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\] 雙曲線的標準式是 \[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=\pm1\] 一般的橢圓或雙曲線方程式是其標準式的平移。

如果 \((4)\) 式的右端項 (the right hand side of the euqation) 是 \(0\)，則 \(\Gamma\) 不存在或者是退化的圓錐曲線 (degenerate conics)：一點、兩相交直線 (two intersecting lines)。 假如方程式 \((3)\) 實際上只有一元 (univariate equation)， 也就是 \(Ax^2+Dx+F=0\) 或 \(Cy^2+Ey+F=0\)，則 \(\Gamma\) 有另外兩種退化的情況：一直線、兩平行線 (two parallel lines)。