數學英文

級數

將數列依序加起來 (summing up a sequence in order) 的算式 (expression) 稱為級數 (series),加起來的結果為級數的和 (sum of the series)。 Series 是單複數同形的字。 前 \(n\) 項之和 (sum of the first \(n\) terms) 意思是 \[a_1+a_2+\cdots+a_n \quad\text{或}\quad a_0+a_1+\cdots+a_{n-1} \] 用連加符號表達 (expressed by summation notation / Sigma notation),即 \[\sum_{k=1}^n a_k \quad\text{或}\quad \sum_{k=0}^{n-1} a_k \] 以第二個級數為例,讀作 summation of a sub k for k goes from zero to n minus one. 雖然符號 \(\Sigma\) 是希臘大寫字母 Sigma,但是讀它都時候要說 summation。

注意級數強調「依序做加法」。 但是,有限級數 (finite series)──有限數列的和:sum of a finite-length sequence──可以調整順序,例如

the summation of the first 100 natural numbers \(1+2+3+\cdots+100\) is equal to \[(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots+(50+51)=101\times50=5050\]
但是當級數有無窮多項時──無窮級數 (infinite series)──就不能隨意調整順序。

因為前述觀念上的差異,有限級數通常就說 sum of the sequence;當然此處指的是 finite-length sequence。 相對地,當我們說 series,通常就是指 infinite series。 而無窮級數就不再屬於算術 (arithmetic) 範疇,而屬於分析 (analysis) 範疇了。

前面的連加公式可稱為 sum of consecutive numbers formula, 但因為 \(1+2+3+\cdots+n\) 又稱為第 \(n\) 個三角數 the \(n\)th triangular number, 所以那個求和公式又稱為三角數公式 (triangular numbers formula)。 另外兩個重要的基本求和公式 (summation formulas) 是平方和公式 (the sum of consecutive squares)、立方和公式 (the sum of consecutive cubes)。

[語音講解:series.mp3]

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Created: Mar 11, 2022
Last Revised: 04/02
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