數學英文

集合定義符號

怎樣描述一個集合有哪些元素呢？ 除了列舉式定義 (definition by enumeration)。 我們也可以用「集合定義符號」(set-builder notation) 來描述集合的內容， 稱為性質式定義 (definition by properties)。例如 \[\{x\text{ 為實數 }\mid 0< x< 1\}\] 讀作「由 \(0< x< 1\) 的實數 \(x\) 所成的集合： The set of real numbers \(x\) such that \(0< x< 1\)。 所以前面所定義的集合就是從 0 到 1 的開區間 (open interval from 0 to 1)， 也記作 \((0,1)\)。

集合的性質式定義分成兩段，由一豎 (vertical bar | ) 或冒號 (colon : ) 隔開， 這個分隔符號的意思是 such that。 前段指明一個變數，例如 \(x\)，並且指明它的來源， 也就是定義域 (domain)，例如「\(x\) 為實數」； 而後段描述該變數的性質，例如 \(0< x< 1\)。

定義域──也就是「元素的來源」──必須是一個已經成立的集合， 常用的數的集合符號如下（數的集合又稱為數系，number system）：

• \(\mathbb{N}\)：自然數 (Natural numbers)，正整數。
• \(\mathbb{N}_0\)：全數 (whole numbers)，正整數或 0。
• \(\mathbb{Z}\)：整數 (德文 Zahl)。
• \(\mathbb{Q}\)：有理數 (Quotients，比值)。
• \(\mathbb{R}\)：實數 (Real numbers)。 有些文獻用 \(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\) 表示無理數。
• \(\mathbb{C}\)：複數 (Complex numbers)。

有了基本的集合符號之後，「\(x\) 為實數」這種話就可以改用符號「\(x\in\mathbb{R}\)」表達。 符號 \(\in\) 的名稱是「屬於」(belong-to)， 但是 \(x\in\mathbb R\) 應該要說「\(x\) 為實數」：\(x\) is a real number 或 \(x\) is real； 同理，\(n\in\mathbb{N}\) 應該說「\(n\) 為正整數」：\(n\) is a positive integer。

運用以上符號，如果要指定 0 與 1 之間的有理數所成的集合，可以說 \[\{x\in\mathbb{Q} \mid 0\leq x\leq 1\}\] The set of rational numbers \(x\) such that \(0\leq x\leq 1\)。 如果要指定不超過 100 的 3 的正倍數所成的集合，可以說 \[\{n\in\mathbb{N} \mid n\leq100\textrm{ 且 \(n\) 為 3 的倍數}\}\] The set of positive integers \(n\) such that \(n\leq100\) and \(n\) is a multiple of 3。

通常，當我們沒有指定 \(x\) 的定義域時，就默認它是實數。 也就是說： \[\{x\mid\cdots\}\quad\text{和}\quad\{x\text{ 為實數 }\mid\cdots\} \quad\text{和}\quad\{x\in\mathbb{R}\mid\cdots\}\] 是同樣的意思。 例如從 0 到 1 的閉區間就可以這樣定義： \[[0,1]:=\{x\mid 0\leq x\leq 1\}\] The closed interval from 0 to 1 is defined to be the set of \(x\) such that \(0\leq x\leq 1\).

數學之所以規定集合的性質式定義必須指明一個 domain， 而且 domain 必須是一個已經成立的集合， 是為了避免發生羅素悖論 (Russell's paradox)。