數學英文

集合運算

學習任何一種新的數學物件，首先要看物件之間有哪些關係 (relations)， 接著就要看物件之間有哪些互動 (interactions)， 而互動的方式通常就是運算 (operations)。 例如實數有「取負數」(negation) 這種單元運算 (unary operation)， 以及加、減、乘、除、次方這些二元運算 (binary operations)。 集合也有單元與二元運算。

集合有兩種常見的單元運算；令 \(S\) 是某集合。

• Cardinality: 元素個數，記作 \(|S|\) 或 \(\#S\)，讀作 the cardinality of \(S\) 或者白話地說 the number of elements of \(S\)。 其中 \(|\cdot|\) 跟絕對值符號一樣，而井字號 \(\#\) 稱為 pound 或 hash。 嚴格來說 cardinality 並不是集合運算，因為它的結果是整數而不是集合。
• 餘集 (complement): 在假設某個宇集或母集 (universal set) 的前提下， \(S^c\) 或 \(S^\prime\) 是不在 \(S\) 裡（但是在宇集裡）的元素所成的集合， 稱為 the complement of \(S\)。

常見的二元運算如下；令 \(A\)、\(B\) 為二集合。

• 交集 (intersection)：\(A\cap B\)，其中 \(\cap\) 符號稱為 cap。
• 聯集 (union)：\(A\cup B\)，其中 \(\cup\) 符號稱為 cup。
• 差集 (relative complement)：\(A\backslash B\) 或 \(A-B\)， the relative complement of \(B\) in \(A\)， 其中反斜線 \(\backslash\) 符號稱為 backslash。 如果宇集是 \(U\)，則前面說的餘集就是 \(S^c:=U\backslash S\)。
• 直積 (cartesian product)： \[A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A\;\textrm{and}\;b\in B\}\] 其中 \((a,b)\) 是有序對 (ordered pair)，符號 \(\times\) 唸 cross。
• Symmetric difference：記作 \(A\Delta B\) 或 \(A\ominus B\)， 意思是在 \(A\cup B\) 但不在 \(A\cap B\) 裡的元素所成的集合， elements that belong to \(A\) or \(B\) but not to both，亦即 \[(A\cup B)\backslash(A\cap B)\] 符號 \(\Delta\) 唸 delta，符號 \(\ominus\) 唸 oh-minus。