數學英文

集合運算

學習任何一種新的數學物件，首先要看物件之間有哪些關係 (relations)， 接著就要看物件之間有哪些互動 (interactions)， 而互動的方式通常就是運算 (operations)。 例如實數有「取負數」(negation) 這種單元運算 (unary operation)， 以及加、減、乘、除、次方這些二元運算 (binary operations)。 集合也有單元與二元運算。

集合有兩種常見的單元運算；令 $S$ 是某集合。

• Cardinality: 元素個數，記作 $|S|$ 或 $\mathrm{\#}S$，讀作 the cardinality of $S$ 或者白話地說 the number of elements of $S$。 其中 $|\cdot |$ 跟絕對值符號一樣，而井字號 $\mathrm{\#}$ 稱為 pound 或 hash。 嚴格來說 cardinality 並不是集合運算，因為它的結果是整數而不是集合。
• 餘集 (complement): 在假設某個宇集或母集 (universal set) 的前提下， $S^c$ 或 $S^{\prime }$ 是不在 $S$ 裡（但是在宇集裡）的元素所成的集合， 稱為 the complement of $S$。

常見的二元運算如下；令 $A$、$B$ 為二集合。

• 交集 (intersection)：$A\cap B$，其中 $\cap$ 符號稱為 cap。
• 聯集 (union)：$A\cup B$，其中 $\cup$ 符號稱為 cup。
• 差集 (relative complement)：$A\mathrm{\setminus }B$ 或 $A-B$， the relative complement of $B$ in $A$， 其中反斜線 $\mathrm{\setminus }$ 符號稱為 backslash。 如果宇集是 $U$，則前面說的餘集就是 $S^c:=U\mathrm{\setminus }S$。
• 直積 (cartesian product)： $$A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A\text{and}b\in B\}$$ 其中 $(a,b)$ 是有序對 (ordered pair)，符號 $\times$ 唸 cross。
• Symmetric difference：記作 $A\mathrm{\Delta }B$ 或 $A\ominus B$， 意思是在 $A\cup B$ 但不在 $A\cap B$ 裡的元素所成的集合， elements that belong to $A$ or $B$ but not to both，亦即 $$(A\cup B)\mathrm{\setminus }(A\cap B)$$ 符號 $\mathrm{\Delta }$ 唸 delta，符號 $\ominus$ 唸 oh-minus。