數學英文

集合關係與區間

學習任何一種新的數學物件,首先該注意它們有哪些基本關係 (relations)。 最基本的關係應該是「相等」(equivalence),其次便可能是「相較」(comparison)。 例如實數之間有相較關係:大於 \(\gt\) 或小於 \(\lt\)。 相對地,集合與集合之間也有類似的相較關係,稱為「容含關係」(containment), 有包含 (contians) 與包含於 (contained in) 兩種符號, 分別記作 \(A\supset B\) 與 \(B\subset A\), 讀作「\(A\) 包含 \(B\)」與「\(B\) 包含於 \(A\)」; 當然符號 \(A\)、\(B\) 都表示集合。 \(A\supset B\) 和 \(B\subset A\) 也說 \(A\) 是 \(B\) 的 superset, 而 \(B\) 是 \(A\) 的 subset(子集)。 類似於 \(\leq\) 和 \(\lt\) 的關係, \(\subseteq\) 就是 \(\subset\) 或 \(=\) 的意思: 包含或等於,is contained in or equal to; 類似地,\(\supseteq\) 就是 \(\supset\) 或 \(=\) 的意思: contains or equals。

空集合 (empty set) 記作希臘字母 \(\phi\) 或列舉式 \(\{\}\), 它包含於或等於任何集合:\(\phi\subseteq A\) for any set \(A\)。

集合相較與實數相較不同的是:實數有三一律,集合沒有。 任取兩個實數,如果不相等就有大於或小於的關係,這種情形稱為 totally ordered。 但是一般而言,兩個集合不一定有容含關係,例如 \(\{a,b,c\}\) 和 \(\{a,b,\{c\}\}\) 既不相等也不互相包含。 這種不一定可以比大小的情形,稱為 partially ordered。

集合與元素之間有「從屬關係」(membership)。 當 \(c\) 是 \(A\) 的元素 (\(c\) is an element of \(A\)) 記作 \(c\in A\),讀作「\(c\) 屬於 \(A\)」(\(c\) belongs to \(A\) 或者比較白話地說 \(c\) is in \(A\)), 而 \(c\not\in B\) 讀作「\(c\) 不屬於 \(B\)」(\(c\) does not belong to \(B\) 或者 \(c\) is not in \(B\)), 或者直白地說 \(c\) 不是 \(B\) 的元素 (\(c\) is not an element of \(B\))。

區間 (interval) 是實數的特殊子集,例如半開 (half-open) 區間 \[(0,1]:=\{x\in\mathbb{R} \mid 0\lt x\leq 1\}\] 像 (0,1] 這樣的半開區間可以說 interval from 0 (exclusive) to 1 (inclusive)。 述說區間的元素時,應該把它的範圍說出來,例如 \(x\in(0,1]\) 應該要說「\(x\) 大於 0 小於或等於 1」。 在區間 \((a,b)\) 中──不管左右兩側是開還是閉 (open or closed)──\(a\) 稱為區間的下界 (lower bound),\(b\) 稱為上界 (upper bound)。 即使下界大於上界 \(a\gt b\) 也沒關係,如果這樣 \((a,b)\) 就是 \(\phi\)。

沒有上界的區間,用無限大符號 \(\infty\) (infinity) 當作上界; 因為 \(\infty\) 只是一個佔位符號 (place holder),並不是一個數, 所以它只能是開放的 (open) 上界。 例如 \([1,\infty)\) 是 interval from 1 (inclusive) to infinity, 而 \(x\in[1,\infty)\) 則應該說「\(x\) 大於或等於 1」: \(x\) is greater than or equal to 1。 類似地,沒有下界的區間就用負無限大 \(-\infty\) (negative infinity) 當作佔位符號,例如所有負數就是以下區間: \[(-\infty, 0):=\{x\mid x\lt 0\}\] The interval from negative infinity to zero (exclusive) is defined to be the set of real numbers \(x\) such that \(x\) is less than zero.

[語音講解:setrel.mp3]

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Created: July 12, 2022
Last Revised: 07/14, 11/28
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