數學英文

正弦波

簡諧運動 (Simple Harmonic Motion,簡稱 SHM) 以及許多簡單的週期性現象 (periodic behaviors) 都以正弦波作為數學模型 (sinusoidal wave 或 sinusoid,sinus 是 sine 的古字,-oid 字根是「像什麼的」, 所以 sinusoid 就是「像 sine 起伏的曲線」)。 Sinusoid 的一般式為 \[D+A\sin(\omega t+\phi)\] 其中 A 應該是正數,代表振幅 (amplitude); 注意數學的振幅是指 peak amplitude:最高點與平均值/參考值的距離 (the maximum positive deviation of a waveform from its reference level), 而不是 peak-to-peak amplitude。 \(\omega\) (omega) 是角頻率 (angular frequency), \(\phi\) (phi) 是相位 (phase)。 D 是平均值或參考值,字母 D 來自電學的習慣, D 代表 DC bias 或 DC component(直流偏壓、直流分量), 而 D 後面的第二項稱為交流波形 (AC waveform)。 (AC: Alternating Current 交流電,DC: Direct Current 直流電。) 因為餘弦函數不過就是正弦的平移,所以正弦波包含餘弦波,不另外討論餘弦波。

正餘弦函數的疊合 (superposition of sine and cosine functions) 意思是說同頻率的正弦波疊合之後的頻率不變,只有振幅與相位的改變: Sum of sine waves of the same frequency and arbitrary phases and magnitudes retains the same shape。 根據和角公式,正弦波 \(A\sin(\omega t+\phi)\) 可分解為正餘弦函數的疊合 \(a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)\),這個程序當然也可以反向操作, 那就是正餘弦的疊合了。

[語音講解:sinusoid.mp3]

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Created: Mar 25, 2022
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