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空間概念

學校數學 (school math) 課程中的空間概念 (spatial concepts) 是指歐氏幾何 (Euclidean geometry) 從我們的感官經驗 (sensory experiences) 所得的基本概念。

兩點決定一直線：Two (distinct) points determine exactly one (straight) line （以後說「兩點」就是「相異兩點」的意思。） 這不僅是平面上的性質，在空間中也是如此。 在現代的幾何公設系統中 (axiomatic system)， 直線是所謂的原始概念 (primitive notion)， 它是無定義的 (undefined)： 任何可以被兩點唯一決定的、一維的、向兩側任意延伸的物件，都可以作為直線。 例如：方程式 \(ax+by=c\) 在坐標平面上的圖形就可以定義為直線。 在中小學以及對一般人而言，「直線」就是自然語言所表達的意義。 同理，點和平面也是無定義名詞； 它們三個都是無定義的、原始概念的幾何物件 (geometric objects)。

空間中兩相交直線決定一平面： Two intersecting lines determine a (unique) plane。 在那個平面上，以交點為頂點可看見四個角落 (corners)， 為了處理角落之間的關係而形成角 (angles) 的概念。 兩相交直線形成四個角，可分成兩對彼此相等的對頂角 (vertically opposite angles 或者就說 opposite angles 或 vertical angles)。 假如四個角彼此一樣大，那樣的角稱為直角 (right angle)， 而那兩條直線互相垂直 (perpendicular)。

從兩相交直線可推論：不共線三點決定一平面， three non-collinear points determine a plane 或者 three points that are not on the same line determine a plane。 也可推論：直線與線外一點決定一平面， a line and a point not on the line determine a plane。

空間的關鍵概念在於直線與平面的垂直性 (perpendicularity)。 若直線與平面交於一點，且該直線與平面上通過交點的所有直線皆垂直， 則稱直線垂直於平面：

If a line drawn to a plane is perpendicular to every line that passes through its foot and lies in the plane, it is said to be perpendicular to the plane.

Lines perpendicular to the same plane are (pairwise) parallel.

Planes perpendicular to the same line are (mutually) parallel.

看一個球 (ball) 的視覺感受 (visual perception) 有如一個平面上的圓盤 (disk 或 disc)，它的周界 (boundary) 是一個圓／圓圈 （名詞：circle，形容詞：circular）。 當我們說空間中的圓或圓盤，已經寓意它落在一張平面上。 空間中不共線三點決定一平面， 在那張平面上，那三點決定一圓：Three non-collinear points determine a circle。