在數學發展脈絡中，三角比的前身是托勒密 (Ptolemy) 在西元二世紀 (the second century) 發表的弦表 (table of chords)，所謂的角 (angle) 都是圓心角，所以介於 \(0^\circ\) 和 \(360^\circ\) 之間。後來伊斯蘭文明 (Islamic civilization) 從印度學來正弦與餘弦 (sine and cosine)──就好像他們從印度學來「阿拉伯數字」(Arabic numerals) 似的，在那之後才有直角三角形上的三角比，而「角」就僅限於銳角 (acute angles) 了。所謂「推廣的三角比」最初是把三角比推廣到 90 度以上：
to extend trigonometric ratios beyond \(90^\circ\)如今的意思是把三角比推廣到「廣義角」上。所謂推廣的三角比就是單位圓上的三角比：
The extended trigonometric ratios are the ratios on the unit circle.所謂單位圓 (unit circle) 是指坐標平面上以原點 \((0,0)\) 為圓心，單位長 \(1\) 為半徑的圓：
The circle of radius \(1\) centered at the origin \((0,0)\) in the Cartesian coordinate system.
英文似乎沒有「廣義角」的說法。被推廣的是三角比，而不是角：我們並沒有推廣角的定義，只是讓它多了方向性 (directionality)：稱為有向角 directed angle 或有號角 signed angle，並規定逆時針旋轉方向 (counterclockwise direction) 為正向，順時針旋轉方向 (clockwise direction) 為負向。注意 clockwise 已經是副詞，不要再加 ly。
為了將三角比從直角三角形推廣到單位圓上， 我們將角放在坐標平面的標準位置 (in standard position)， 也就是頂點在原點而始邊在 \(x\) 軸正向：
the vertex of the angle lies at the origin and the initial side lies along the positive \(x\)-axis.如此一來，終邊 (terminal side)，也就是一條以原點為端點的射線：
a ray starts at the origin就決定了一組同界角 coterminal angles。
所謂單位圓上的三角比，就是將有向角 \(A\) 放在標準位置，取其終邊與單位圓的交點 \({\cal A}(x,y)\)──\({\cal A}\) 是書法字型 (calligraphic font) 的 A，讀作 calli-A，在此脈絡中可以讀作「點 A」(point A)──則定義 \[\cos A=x\quad\text{and}\quad\sin A=y\] 其他三角比都從 sin 和 cos 定義： \[\tan A={\sin A\over\cos A},\quad \cot A={1\over\tan A},\quad \sec A={1\over\cos A},\quad \csc A={1\over\sin A}\] 基本的三角平方公式 \[\sin^2A +\cos^2A=1\] 只不過因為 \((\cos A,\sin A)\) 是單位圓上的點坐標，它們滿足單位圓方程式：\(x^2+y^2=1\)，英文稱此平方公式為畢氏等式 Pythagorean identity，或者更精確地說畢氏三角等式 Pythagorean trigonometric identity，可以略為簡化成 Pythagorean trig identity。其他兩種變形 (variations)： \[\tan^2A+1=\sec^2A\quad\text{and}\quad\cot^2A+1=\csc^2A\] 同樣也稱為畢氏等式，它們都是 Pythagorean identities。
| [語音講解：trig-circle.mp3] |