數學英文

三角形的建構

在德國的某份教材裡，三角形全等性質 (the congruence of triangles) 的教學重點放在三角形的建構 (動詞 construct，名詞 construction)， 在操作中了解全等條件決定唯一的三角形 (conditions that determine unique triangles)， 並不在於全等三角形的證明 (proof for congruent triangles)。 全等符號是 \(\cong\)：tilde over equal sign，讀作 is congruent to。

美國的某份教材則讓三角形全等教學兼具欣賞數學思維的任務， 但是他們按照教學目標簡化了邏輯系統， 將 SSS, SAS, ASA 當作三角形全等設準：Triangle Congruence Postulates， 而 RHS, AAS 作為三角形全等定理：Triangle Congruence Theorems。 如果我們先接受正弦定理、餘弦定理，則只需要一條設準，例如 SSS。

所謂 SSS (Side-Side-Side) 是指三條線段（或三條線段的長度）可建構唯一一個三角形：

A unique triangle can be constructed given all three sides.

• 兩邊之和大於第三邊
  The sum of any two sides (of a triangle) is greater than the third side.
• 兩邊之差小於第三邊
  The difference of any two sides (of a triangle) is less than the third side.
  此處的「差」是「差距」的意思，即「差的絕對值」： the absolute value of the difference。

所謂 SAS (Side-Angle-Side) 是指兩邊及其夾角：two sides and the included angle。 運用餘弦定理可以從 SAS 決定第三邊的邊長，所以就回到 SSS。

所謂 ASA (Angle-Side-Angle) 是指兩角及其夾邊：two angles and the included side， 而 AAS (Angle-Angle-Side) 是指兩角及某角的對邊， 總而言之就是兩角一邊：two angles and a side。 因為兩角即決定一組彼此相似的三角形， 所以決定了三邊的比（這也可以視為正弦定理的應用）， 固定其中任一邊長就確定了其他兩邊長，於是回到 SSS。

所謂 RHS (Right Angle-Hypotenuse-Side) 是指直角三角形中的斜邊與一股， 根據畢氏定理即知另一股長，這樣就又是 SSS。 若給定直角三角形的兩股長，則是 SAS 條件，它也是一種全等條件。