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三角函數

相對於三角學 (trigonometry) 是以測量為主要目的， 三角函數 (trigonometric functions) 主要作為週期性現象的數學模型 (a mathematical modeling of periodic behaviors，美式拼字為 modeling， 英式拼字為 modelling)。 三角函數的學習內容仍然是 6 個三角比， 而常用的仍然是 sine, cosine, and tangent 這三個 functions， 但 secant function 比 secant ratio 更為有用，因為微積分需要它。

Trig functions 跟 trig ratios 的最粗淺差異， 就是角量的 unit 從 degrees 改為 radians，這是為了配合微積分的需要。 雖然同界角已經使得三角比含有週期性的意義： Trig ratios on coterminal angles implies periodicity， 但是我們在 trig functions 才正式討論週期性。 Trig functions 皆為週期性函數 (periodic functions)， 也可以更精確地說它們是 \(2\pi\) 週期函數： periodic functions of period \(2\pi\) 或 \(2\pi\)-periodic functions。 但 \(2\pi\) 並非 \(\tan x\) （tangent of x）的最小週期： \(\tan x\) is \(\pi\)-periodic, it has \(\pi\) as smallest period.

為幫助函數作圖：to graph a function、graphing functions， 須討論另一組三角恆等式：平移公式 (phase shift identities)；例如 \[\sin(x+{\pi\over2}),\quad\sin(x-{\pi\over2}),\quad\sin(x\pm\pi)\] 雖然可以用 reflection identities 推論 shift identities， 但是別這樣想。相位平移 (phase shift) 其實是繞原點的旋轉 (rotation about the origin)。 例如 \((\cos(x+{\pi\over2}),\sin(x+{\pi\over2}))\) 是 \((\cos x,\sin x)\) 逆時針旋轉 \(90^\circ\) 的點： rotate 90 degrees counterclockwise around the origin。 所以它的坐標應該是 \((-\sin x, \cos x)\)，比對坐標就得到 shift identities \[\cos(x+{\pi\over2})=-\sin x,\quad \sin(x+{\pi\over2})=\cos x\] 注意 \(\sin(x+\pi)\) 和 \(\sin(x-\pi)\) 其實一樣， 因為它們是繞原點順或逆時針旋轉 \(180^\circ\)， 結果都一樣，就是對稱於原點的點 (the symmetric point about the origin)。

\(\tan x\) 的函數圖形 (graph of the tangent function) 是中學階段少數遇到有鉛直漸近線的圖形 (vertical asymptotes)。 發生 vertical asymptotes 的實數並不在 \(\tan x\) 的定義域 (domain) 之內， \(\tan x\) 仍然被稱為連續函數：\(\tan x\) is a continuous function， 但是它不是實數上的連續函數： \(\tan x\) is not continuous on \(\mathbb{R}\)/the set of real numbers， 或者說 \(\tan x\) is not continuous on the real line.