數學英文

三角恆等式

為數眾多的三角恆等式 (trigonometric identities) 或三角公式 (trigonometry formulas) 是中學數學一段惡名昭彰 (notorious) 的學習內容 (learning content)。 善用對稱性 (symmetries) 可望提升理解層次,也就降低複雜度了。

將 \((\cos A,\sin A)\) 視為單位圓上的一點: Let \((\cos A,\sin A)\) be a point on the unit circle, 稱它為點 \({\cal A}\)。 則點 \({\cal A}\) 與 \((\cos(-A),\sin(-A))\) 對稱於 \(x\) 軸 (symmetric with respect to the \(x\) axis), 由對稱點的坐標關係可得 sin 與 cos 的負角關係 (opposite angles identities)。

令 As 是 A 的補角 (supplementary angle), 則 \((\cos A^s,\sin A^s)\) 是點 \({\cal A}\) 的 \(y\) 軸對稱點 (the symmetrical point from the \(y\) axis), 由它們的坐標關係可得 sin 與 cos 補角關係 (supplementary angles identities)。

令 Ac 是 A 的餘角 (complementary angle), 則點 \({\cal A}\) 與 \((\cos A^c,\sin A^c)\) 是對稱於直線 \(y=x\) 的兩點 (two points that are symmetric across the line \(y=x\)), 由它們的坐標關係可得 sin 與 cos 餘角關係 (complementary angles identities)。

以上對稱也可以理解成,例如:互餘兩角是對 \(45^\circ\) 直線的鏡射, reflections about the line with direction \(45^\circ\)。 因此,前述恆等式可統稱為鏡射公式 (reflection identities)。

從以上基本等式,搭配其餘四個三角比與 sin, cos 的倒數關係 (reciprocal identities) 及分數關係 (ratio/quotient identities), 即可推論全部三角比的負角、補角、餘角關係: Trigonometric identities of opposite, supplementary, and complementary angles.

在中學,只做 sin, cos and tan 的和差角公式。 四個 sin 與 cos 的和差角公式 (angle sum and difference identities) 只要知道其中一個就可以用負角、餘角關係推論其他三個。 從高觀點來看,比較容易記得的是餘弦的差角公式 (the difference of angles identity for cosine), 因為它等價於 (is equivalent to) 向量內積 (inner product of vectors)。 Tangent 的和差角公式可從它跟 sin, cos 的分數關係推論 (derives) 出來。

倍角公式 (double angle formulas) 都是和角公式的特例, cos 的倍角公式可以推論 sin 及 cos 的半角公式 (half angle formulas), 它們再推出 tan 的半角公式。 sin 及 cos 的半角公式在微積分裡特別重要。

中學課程已經不講三倍角公式 (triple angle formulas), 它們在數學發展史上扮演關鍵角色。 中學課程也已經不講和差化積 (sum-to-product identities) 與積化和差 (product-to-sum identities), 但積化和差在某些積分技巧需要用到。 可是,如果使用電腦代數系統 (CAS: Compuer Algebra System) 做積分, 這個技巧也沒那麼重要了。

[語音講解:trig-ident.mp3]

[ 回上層 ]


Created: Mar 24, 2022
Last Revised:
© Copyright 2022 Wei-Chang Shann 單維彰     [Home Page]
shann@math.ncu.edu.tw