向量 (vectors) 是僅有兩種屬性的數學物件：向 (direction) 與量 (magnitude)。只要這兩個屬性相同，就是相等的向量：
Two vectors are equal if they have the same magnitude and direction.向量不一定需要坐標，但是在坐標系統中比較容易具體操作向量，所以我們在有坐標的前提下討論向量。
向量的 maginitude（又稱為「大小」）以非負實數 (nonnegative real numbers) 表現，它常見的意義是長度 (length)、速率 (speed)、力的強度 (strength of the force，公制單位為牛頓 Newton) 等。至於 direction 原則上用一條射線來表現，實際的表現方式則與維度有關；舉例而言，一維向量 (one dimensional vector) 在數線上，它們只有兩個方向：向前 (forward) 或向後 (backward)，用正負號表示：正數是向前的向量，負數是向後的向量。二維向量 (two dimensional vector) 在坐標平面上，方向可以由極坐標的角 (polar angle) 來表達，也可以用單位圓上的點坐標 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 來表達：這兩種表達方式，意思都是以某個標準位置角的終邊為方向：
The direction of the terminal side of an angle in the standard position.在坐標空間中，方向可以用三個方向餘弦 (direction cosines) 表達，但是通常就由一個非零向量 (nonzero vector) 的直角坐標來表達，例如
in the direction of vector \(\left(\array{a\\b\\c}\right)\)意思就是從原點 \((0,0,0)\) 經過點 \((a,b,c)\) 的射線方向，
in the direction of the ray that starts at the origin and passes through the point \((a,b,c)\)其中 \((a,b,c)\) 不是原點。Magnitude 是 \(0\) 的向量都稱為零向量 (zero vector)，它沒有特定方向，或者說它的方向是任意的：
或者
in the direction that points from the origin to \((a,b,c)\)
The zero vector has no particular direction, or the direction is arbitrary.但我們規定所有零向量皆相等，只是不討論零向量與其他向量的平行或垂直。不能說零向量沒有方向，因為向量都要有向也有量。
通常在符號上方畫箭頭 arrow \(\rightarrow\) 或半箭頭 harpoon \(\rightharpoonup\)（魚叉）來表示向量，例如 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\)，或者使用粗體字型 (boldface fonts) 來表示向量，例如 \(\boldsymbol{v}\) 讀作 vector v。以 \(A\) 為始點 (initial point)、\(B\) 為終點 (terminal point) 的向量記作 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AB}}\) 讀作 vector A B 或 vector from A to B。零向量記作 \(\overset{\rightharpoonup}{0}\)。\(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 的「量」（又稱為模 norm，俗稱長度），在中學通常使用絕對值符號表示：\(|\overset{\rightharpoonup}{v}|\)，但是在高等數學則習慣使用 norm 符號：\(\|\overset{\rightharpoonup}{v}\|\)。嚴格來說，非零向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 的方向向量是與它同向的單位向量：
The direction vector of a nonzero vector \(\boldsymbol{v}\) is the unit vector in the direction of \(\boldsymbol{v}\), denoted by \(\boldsymbol{u}_v\) and \[\boldsymbol{u}_v := \displaystyle{\boldsymbol{v}\over\|\boldsymbol{v}\|}\]但是口語上我們通常把非零向量本身就當作一個方向，而不特別要求長度為 1。例如直線的方向向量就是直線上任相異兩點所成的向量：
The direction vector of a line is \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{AB}}\;\) for any distinct points \(A\) and \(B\) on the line.
向量的幾何表徵是有向線段 (directed line segment)。在直角坐標系上，向量的坐標表示法 the coordinate representation of a vector 就是將點坐標寫成直式，稱為行向量 column vector。以平面向量 vectors in the plane 為例： \[\boldsymbol{v}={a\choose b}\] 意思是從原點 \(O(0,0)\) 到點 \(P(a,b)\) 的向量： \[\boldsymbol{v}= \overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OP}} \] 坐標表示法當中的元素，也就是 \(a\) 和 \(b\)，稱為 components，譯為「分量」。
坐標表示法同時決定了向量的方向和大小：方向是 \(OP\) 射線，大小就是 \(OP\) 線段長： \[\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\] 以平面向量為例，零向量 \(\overset{\rightharpoonup}{0}\) 的坐標表示是 \(\displaystyle{0\choose 0}\)。
向量也可以用點坐標的橫式表示，稱為列向量 row vector。但是線性代數 (linear algebra) 的標準符號採用了行向量，越來越多數學文件採用行向量。在中學，採用行向量的好處之一，是容易分辨點坐標與向量。
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