數學英文

分數與小數

今天作為「分數」的字 fraction 原本是「碎片」的意思， 引伸為「不足一的部份」，因此是「部份的數」，簡稱「分數」。 當一個數帶有「不足一的部份」，應該先說完整的部份，再說不足一的部份； 也就是一個整數加或減一個介於 0 與 1 之間的分數， 例如 \(3{1\over4}=3+{1\over4}\)，\(-2{2\over3}=-2-{2\over3}\)。 可見只需要在 0 與 1 之間討論「不足一的數」就可以了。

既然 fraction 表示「不足一的數」，那麼它應該不限於分數，也該包含小數才對啊。 沒錯，在 18 世紀的學校裡，分數的英文是 vulgar fraction：常用分數， 小數的英文是 decimal fraction：十進分數， 它們都是「不足一的數」，只是形式不同而已。 美國從 19 世紀末開始把 vulgar fraction 改名為 common fraction， 這兩個名詞在 20 世紀分庭抗禮。 語言朝著簡化的方向演變，到 1980 年之後， vulgar / common fraction 簡化為 fraction， 而 decimal fraction 簡化為 decimal； 這就使得本來是同樣觀念但不同形式的數（不足一的數），在語言上變得好像兩種觀念了。

Decimal 本身是「十進位」的意思， 例如 the decimal system 就是指我們現在日常使用的十進位記數系統。 按照「小數」原本的名字 decimal fraction 來看，它就是以 10 的次方為分母的分數， 也可以稱為「十分數」。 類似地，「二分數」dyadic fraction 或 binary fraction 就是以 2 的次方為分母的分數，「三分數」ternary fraction 是以 3 的次方為分母的分數。 例如 \(\displaystyle{3\over8}={375\over1000}=0.375\)， 而 \(0.375 \) 的意思不過是 \(\displaystyle{3\over10}+{7\over100}+{5\over1000}={375\over1000}\)。 可見「小數」／「十分數」是一種特別的分數。

小數點是 decimal point，帶有小數的數是 decimal number，它的小數部份是 decimal part。 有限小數是 finite decimal，無窮小數是 infinite decimal。 某一類的無窮小數稱為循環小數：circulating decimal 或者 recurring decimal 或者 repeating decimal。

二分數在計算機上非常重要：二進制小數 (binary fraction) 就是分子只能是 0 或 1 的二分數。譬如 \(\displaystyle{3\over8}\) 是一個二分數，因為 \[{3\over8}={0\over2}+{1\over4}+{1\over8}\] 所以它的二進制小數就是 \(0.011\)。 十進制的有限小數 (finite decimal) 轉換成二進制小數之後，可能變成循環小數。 例如 \[ 0.1 ={1\over10}={1\over16}+{1\over32}+{0\over2^6} +{0\over2^7}+{1\over2^8}+{1\over2^9}+\cdots \] 其實 \(0.1\) 的二進制小數是 \(0.0\overline{0011}\)。