瑕積分

在本節中我們介紹定積分觀念的一項推廣─即引入瑕積分的概念. 在我們定義定積分時, 我們假定被積分函數有界, 又假定積分的間隔為一有限間隔. 為了取消這些限制, Cauchy 引入了瑕積分的概念. 先讓我們看一個例子: 我們知道對任意實數 T, $\arctan T$ 都可以用積分

$$\int_0^T\frac{1}{1+x^{2}} \,dx$$

表示. 大家通常又認為 $\arctan \infty=\pi/2$. 所以我們希望能把積分

$$\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2} \,dx$$

解釋為 $\pi/2.$

Cauchy 引入了瑕積分 (improper integral) 的觀念, 就是為了合理地解釋這類問題. 以下我們把以前所講過的積分稱為正常積分 (proper integral). 我們要定義的瑕積分呈

$$\int_a^b{f(x)} \,dx$$

之形, 其中 a,b 代表實數或符號 $\pm\infty$, 而且函數 f(x) 不一定有界. 以下我們用 I 表示此瑕積分, 其定義要分以下數款說明:

(1) $a=-\infty,b$ 為實數, 且對任意 $T\in(-\infty,b)$, 積分

$$\int_T^bf(x) \,dx$$

均為正常積分. 如果極限

$$\lim_{T \rightarrow -\infty}\int_T^b{f(x)} \,dx$$

存在且為有限值, 此時我們把 I 定義為該極限.

((2) $b=\infty,a$ 為實數, 且對任意 $T\in(a,\infty)$, 積分

$$\int_a^T{f(x)} \,dx$$

均為正常積分. 如果極限

$$\lim_{T \rightarrow \infty}\int_a^T{f(x)} \,dx$$

存在且為有限值, 此時我們把 I 定義為該極限. (3) a,b 均為實數, a<b, 函數 f(x) 無界, 但對任意 $T\in(a,b)$, 積分

$$\int_T^bf(x) \,dx$$

均為正常積分. 如果當 T 從 a 的右側趨近於 a 時, 極限

$$\lim_{T \rightarrow a^{+}} \int_{T}^{b} f(x)\,dx$$

存在且為有限值, 此時我們把 I 定義為該極限.

(4) a,b 均為實數, a<b, 函數 f(x) 無界, 但對任意 $T\in(a,b)$, 積分

$$\int_a^T{f(x)} \,dx$$

均為正常積分. 如果當 T 從 b 的左側趨近於 b 時, 極限

$$\lim_{T \rightarrow b^{-}} \int_{a}^{T} f(x) \,dx$$

存在且為有限值, 此時我們把 I 定義為該極限. (5) 一般情形. 假定我們能選擇 n-1 個實數 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n-1}$ 使 $a=c_{0}<c_{1}<\cdots<c_{n-1}<c_{n}=b$, 且使每個積分

$$\int_{c_{i-1}}^{c_{i}}{f(x)} \,dx ,i=1,2, \cdots,n$$

均為正常積分或為 (1)-(4) 中所定義的瑕積分. 此時我們把 I 定義為

$$\sum_{i=1}^{n}\int_{c_{i-1}}^{c_{i}}{f(x)} \,dx$$

注意在這個定義中, I 的值和 n 及分點 $c_{1},C_{2}, \cdots, c_{n-1}$ 的選擇全都無關; 這就是說如果我們也能選擇 m-1 個實數 $d_{1},d_{2}, \cdots,d_{m-1}$ 使 $a=d_{0}<d_{1}< \cdots<d_{m-1}<d_{m}=b$, 且使每個積分

$$\int_{d_{i-1}}^{d{i}}{f(x)} \,dx$$

均或為正常積分或為 (1)-(4) 中所定義的瑕積分, 則必有

$$\sum_{i=1}^{n}\int_{c_{i-1}}^{c_{i}}{f(x)} \,dx =\sum_{i=1}^{m}\int_{d_{i-1}}^{d_{i}}{f(x)} \,dx.$$

這結果讀者試自行證之.我們將結果的一部分留作習題.

(6) 若 b<a, 則定義

$$\int_{a}^{b}{f(x)} \,dx =-\int_{b}^{a}{f(x)} \,dx.$$

在以上 (1)-(6) 諸款中, 積分 I 有一個固定的有限值. 此時也可以說 Cauchy 的瑕積分 I 收斂(converge). 在 (1)-(4) 諸款中, 如果所談的極限不存在, 或 $=\infty$ 或 $=-\infty$, 我們便說 I 發散 (diverge). 在情形 (5) 中, 如果諸積分

$$\int_{c_{i-1}}^{c{i}}{f(x)} \,dx$$

中至少有一個發散, 我們便說 I 發散.

對瑕積分有了這些瞭解以後, 本節開始所舉的例子便可完全 justify 了:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^{2}} =\lim_{T\rightarrow \inft... ...1+x^{2}} =\lim_{T\rightarrow \infty}{\arctan T}=\frac{\pi}{2}.$$

現在讓我們再舉兩個有趣的例子: 設 $\alpha$ 為正實數. 我們將考慮 $x^{\alpha}$ 的積分:
(I) $$\int_{0}^{1}x^{-\alpha} \,dx$$. 這積分當 $\alpha<1$ 時收斂到 ${1/(1-\alpha)}$, 當 $\alpha\geq{1}$ 時發散.
(II) $$\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \,dx$$. 這積分當 $\alpha>1$ 時收斂到 ${1/(1-\alpha)}$, 當 $\alpha\leq{1}$ 時發散.

有時我們也把面積和體積的觀念應用到無界的區域去.

例 4   求曲線 $y=x^{-1},x\in[1,\alpha)$ 與 x軸所夾的面積和這面積圍繞 x 軸旋轉所得的體積.

解. 所求的面積應為

$$A=\int_{1}^{\infty}{x^{-1}} \,dx.$$

但這積分發散, 故面積無限. 又所求的體積為

$$V=\pi\int_{1}^{\infty}{x^{-2}} \,dx =\pi.$$

這卻是有限的體積了.

習$\quad$題

1.

決定下列各積分何者收斂, 何者發散, 並求出收斂者的值:
(a) $$\int_{{- \infty}^{0}{e^{x}}} \,dx$$,     (b) $$\int_{0}^{\infty}{(x+1)^{-1/3}} \,dx$$,     (c) $$\int_{1}^{\infty} \frac{{x}{1+x^{2}}} \,dx$$(d) $$\int_{1}^{\infty} \frac{{\ln{x}}{x}} \,dx$$,     (e) $$\int_{\infty}^{- \infty}{(4-x)^{-2/3}} \,dx$$,     (f) $$\int_{-1}^{1} \frac{{1}{x}} \,dx$$

2.

設

$$f(x)=\frac{\ln{x}}{x},\quad x>0.$$

問 $$\int_{1}^{\infty}f'(x)\,dx$$ 為收斂或發散? 若收斂, 則求其值.

3.

Evaluate

$$\int_{-1/ \sqrt2}^{1/\sqrt2} x \sqrt{1-2x^{2}} \,dx$$

4.

設 f(x) 為定義在 $(- \infty, \infty)$ 上的函數, a,b 為實數. 假定

$$\int_{- \infty}^{a} {f(x)} \ dx =P,\quad\int_{a}^{\infty}{f(x)} \,dx =Q,$$

試證

$$\int_{- \infty}^{b}{f(x)} \ dx + \int_{b}^{\infty}{f(x)} \,dx =P+Q$$

5.

(a) 試證若 $$\int_{- \infty}^{\infty}{f(x)} \,dx =A$$, 則 $$\lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T}{f(x)} \,dx =A$$.(b) 試求一函數 f(x), 使 $$\lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} {f(x)}\,dx$$ 得有限值, 但 $$\int_{- \infty}^{\infty}{f(x)} \,dx$$ 發散.