反三角函數的定義

三角函數都是定義於實數軸上的週期函數. 因為週期函數一定不是一一對應, 所以它們都沒有反函數. 但在實際應用上, 很有需要決定它們的反函數. 解決這表面矛盾問題的方法是限制三角函數的定義域. 至於限制的範圍則依慣例.

正弦函數 sinx 不是一一對應. 但如果把它的定義域縮小至 $[-\pi/2, \pi/2]$, 則它變成了狹義增函數. 經過這樣縮小後, 它的反函數叫作反正弦, 以 $\arcsin x$ 或 $\sin^{-1}x$ 表之. 反正弦函數的定義域是 [-1,1], 值域是 $[-\pi/2, \pi/2]$.

習慣上我們用 $\sin^{n}x$ 表示 $(\sin x)^n$. 雖然這個表法不理想, 但卻為大家所接受. 這個表示法的唯一例外是 n=-1 的情形, 因為 sin^-1x 表示反正弦. 這是很多人比較喜歡用符號 $\arcsin x$ 的原因.

餘弦函數 cosx 也不是一一對應. 但如果把它的定義域縮小至 $[0,\pi]$, 則它變成了狹義減函數. 經過這樣縮小後, 它的反函數叫作反餘弦, 以 $\arccos x$ 或 $\cos^{-1} x$ 表之. 反餘弦函數的定義域是 [-1,1], 值域是 $[0,\pi]$.

同樣地, 我們也可以定義反正切和反餘切: 反正切 $\arctan x$ 或 $\tan^{-1} x$的定義域是整條實數軸, 它的值域是 $(-\pi/2, \pi/2)$; 反餘切 $\hbox{arccot}x$或 $\cot^{-1}x$ 的定義域也是整條實數軸, 它的值域是 $(0,\pi)$.

至於反正割和反餘割的定義, 便沒有通用的慣例了. 為了討論的方便計, 在本課程中, 我們採用下述的慣例. 一這項選擇在微積分中時非常方便, 所以很值得提倡: 我們把反正割的值域定義於 $[0,\pi/2)\cup[\pi, 3\pi/2)$ 中, 而把反餘割的值域定義於 $(0,\pi/2]\cup(\pi, 3\pi/2]$ 中. 在下節中便可看到這樣選擇的好處.