108 數學領綱將三項以前習慣「一次講完」的高中學習內容，拆成兩段：對數、三角、機率。譬如 2021 年 11 月有一位老師這樣描述他的疑問：為什麼 108 高中數學，不要像以前那樣，一個單元把同樣的內容介紹完就好？ 現在是高一講一次、高二再一次，但內容是由淺到深，螺旋式發展的。本篇主要以對數為例，說明此設計的理由。就算讀者（教師）仍不能接受，也希望可以多一點諒解。其實本文真正想做的，是藉機推薦林倉億老師（台南一中）分享的教學心得：林倉億（2020）。對數教學的 4.5 節課──108 課綱高一對數教學的反思與建議。HPM 通訊，23 (4)；數學學科中心電子報，166。林老師從一句玩笑話說起：「遇到 log，學生的智商就取 log！」。相信許多老師都能會心一笑。但是這句玩笑僅是「同情」而非「同理」，且看林老師如何說下去。
許多人將拆成兩個層次來次第學習的課程設計方式，稱為「螺旋」（spiral）。 相對的，所謂「一次教完」的課程則稱為「塊狀」（compartmental）。 其實 108 高中數學課綱也沒那麼「螺旋」，總共只有三項學習內容被拆開來， 它們是對數、三角、機率；選擇拆開這三個主題，是因為學生相對而言較缺乏它們的前置經驗。 本文主要談對數。
既然「螺旋」和「塊狀」的課程設計有對應的英文，表示它們也曾在西方被討論過。 是的，根據美國數學教師協會出版的《美加數學教育史》（NCTM, 1970; Chapters 2,3）， 在大約十九世紀中葉以前，所有數學教材都是塊狀的編排設計。 我們很難想像小學的算術也是如此，但當時所謂的小學生可能是 12 到 18 歲的青少年， 而且學校裡基本上沒有獨立的數學課，數學常常是在課外，補充給少數有需要的學生， 所以我們就不必認真討論那麼久以前的小學課程了。 總之，早期的課程都是塊狀的，而「螺旋」課程的想法， 是英國學者斯賓塞 (Herbert Spencer, 1820-1903) 在十九世紀後半提出的創見；這位國際知名的知識分子也紅到中國， 他在晚清曾被稱為史本守或施本思（韓承樺，2010）， 而清末引進西學之第一名家──嚴復──是他的忠實信徒（蔣英豪，2006）。
我打出斯賓塞的名號，並不是掉書袋，而是想請讀者理解：「螺旋」課程設計曾是受西方學者重視的教育創見，它出自一位舉足輕重的思想家。
斯賓塞的著作與思想在十九世紀末傳入美國，但是並沒有立刻發揮影響。 至少有兩項發生於美國本土的思想，與斯賓塞的主張一起促成美國課程的「螺旋」化。 其一是十九世紀末，美國為討論「中學」教育的目的與內容究竟為何，成立了一個委員會。 該委員會的數學領域委員會由當代美國數學家、中學數學教師、中學校長組成， 他們指出：數學應該適度打破塊狀課程，以便呈現「數學是一個整體」。 其二是心理學所獲的新知識， 認為有效的教學方法是將知識／技能拆解成小片段，分段精熟之。 以桑代克（Edward Lee Thorndike, 1874-1949） 為代表的心理學者將這方面的心理學應用到數學教育， 他們進一步發現：應避免將類似的知識／技能片段集中在一起教授。 避免集中教授的原因有二， 一則可能發生假性精熟：因為大量的集中練習而變成暫時性的反射動作， 並沒有真的學會； 二則萬一在此期間發生錯誤概念／行為，則它會被錯誤地增強，使得將來更難改正。 以上三種思想結合在一起，才使得美國的數學課程／教材在 1920 年代開始嘗試「螺旋」； 而它真正發展開來，則是在第二次世界大戰結束的 1945 年之後。
我簡略回顧以上歷史，並不是挾洋自重，而是想請讀者理解： 美國（西方）並不是一開始就採螺旋課程設計，他們也是走了很長一段路， 才逐步改變過來的。 當然外國人做的並不一定對，我們還是可以認為他們錯了， 就像我們曾經拒絕接受「建構式數學」似的。 但是「螺旋」課程在美國發展了這麼久，經過長期的思辯與討論， 基本上沒有引起太大的反對聲浪， 是不是值得我們更虛心地審視對方、反省自己？
當數學學科中心在民國 107 年舉辦 108 課綱初稿宣導研習的時候， 我們就解釋過「螺旋的理由」是為了「有意義的學習」， 支持這個理念的教材，應該符合「具體 ─> 半具體 ─> 抽象」的大原則 （單維彰，2018）。呂溪木校長對此理念做過簡短而深刻的詮釋：
不論是在國小、國中或高中的教材中 ... [不該] 發現突如其來的定義、公設或定理； 無法理解而必須死記的內容 ... [應該] 在提出一個數學概念或名詞之前， 必先提出一個學生經驗所及的實際問題加以觀察 ... 最後將整個過程所牽涉到的數學概念與方法抽象出來成為定義或定理。 ... [讓] 學生 ... 對於問題的來龍去脈以及解決的過程都有充分的理解。 ... 對於學生無法達成「完全學習」的教材內容，全部加以刪除。 （呂溪木，2007）
大家都知道，數學教育應該始於「具體」，終於「抽象」； 重點是：數學的教學，不能從「具體」直接一步走到「抽象」。 在具體與抽象之間，有些人主張安插一個步驟，有些人主張安插兩個步驟， 而那些一個或兩個的中間步驟，也是各家有各的說法。 那所謂的中間／過渡步驟，確實不好命名，我個人偏向不予特殊命名， 而逕稱為「半具體」或者「半抽象」。 對於像對數、三角這樣的學習內容，所謂「具體」是先將它認識為一個「數」， 做「數」的計算與操作；以前很難辦到這一步，因為以前不用計算機， 108 課綱引進計算機（電算器）作為學習的工具，使得對數與三角比能夠成為具體的「數」。 下一個學習步驟是以符號表示的代數規則，最後才是兩量的關係與圖形。 也就是說，我們以「算數 ─> 代數 ─> 函數」作為某一類數學學習內容的教材設計原則。 「對數」就屬於這一類。
10 年級初次介紹對數時，重要目標是使學生「有感地」知道它是一個數； 例如 log(2) 就是使得 10 的某次方等於 2 的那個數。 認知且習慣任一正數 a 都等於 10 的 log(a) 次方之後，雖然對數律就是指數律， 而且對數律已經呼之欲出了，但課綱仍不希望過早引進代數公式。 主要是因為當時（第一冊第一章）的教學目標是「實數」， 不希望被太多對數偏移了目標。 那一章單純在「數」的層次認識對數，與「科學記號數字」互相連結。 在課程說明手冊裡，特別指出 10 年級下學期有機會出現指數方程，例如 (1.02)^x = 2， 此時可以複習對數，用對數求解（數值近似解）。可惜教科書未必接納這項建議。
已經有老師發現自然領域在高一用到對數（僅需常用對數）， 而數學課綱安排在 10 年級的初步對數課程就夠他們使用。 這也是把對數拆成兩段的另一個原因： 為了支持自然科學的課程需求，同時避免過多內容而佔據太多 10 年級的學習時間。 10 年級不能安排太多「深刻」的內容，因為 10 年級屬於全國高中生的共同必修階段， 較為深刻的內容（為理工專業而準備的），必須放在分軌之後的課程裡。
到了 11 年級（A 類），我們將對數的代數面向與函數面向教給學生。 由此可見，課綱並沒有按照理論把對數分三段來教學。 從這個例子，讀者應可相信，相較於英、美、德的數學教材（我沒調查過法國教材）， 我國課程的所謂「螺旋」其實做得並不徹底，我們只是把一大塊的課程， 拆成一小塊和一大塊而已，還談不上真正的「螺旋」。 前面說過，真正的螺旋理念，還要把有關聯的、適合學生認知的數學放在一起， 讓學生確實「有感」於「數學是一個整體」。 譬如課程若規定 10 年級下學期的數列與級數必須連結指數與對數， 這樣才會更接近「螺旋」課程設計的理念。 但是為了尊重教學現場的習慣，課綱並沒有這樣硬性規定，只在說明手冊提出建議而已。
課綱拆開對數教學的用意，雖然不被全體教師接受，但還是有人感受到它的好處。 我私下聽過一些正面回饋（當然負面的也不少）， 但很少老師花時間把教學心得寫下來分享。 這就是我特別感謝林倉億老師的原因了。 不論他要支持或批評課綱設計，他寫下完整論述，並詳細提供教學的觀察與省思。 對於課綱的實施與改善而言，這樣的回饋，實在太重要了。 林老師從一句玩笑話說起：「遇到 log，學生的智商就取 log！」。 相信許多老師都能會心一笑。 請拉回前面，打開連結，下載檔案，看看林老師如何說下去。
許多老師埋怨分段教學之後，要教第二段的時候，學生忘了第一段，又要重新來過。 確實，對抗學生的遺忘，彷彿是老師的聖戰。 有趣的是，螺旋式的課程設計動機之一，就是為了對抗遺忘。 我要分頭回應這個意見：
遺忘是無可避免的。對抗遺忘的有效方法，早在二十世紀前期就有了心理學的定見。 教育心理學早就知道「遺忘」是正常的： 一般人在學完一門課一年之後會忘記 50%，兩年之後會忘記 75% (Tyler, 1949: p.73)。 後續的研究指出： 過度、超前的刻意練習無助於「抗忘」，關鍵是習得之後有沒有持續用它？ ──這項學術研究結論，應該蠻符合我們的生活經驗。 當然我們也都有一次性而「刻骨銘心」終生不忘的經驗，但那畢竟是少數例外。 長期記憶的養成，比較有效的方法，確實是「學而時習之」。 舉例來說，數學系畢業生相較其他理工科系的畢業生，更多人記得積分的定義； 這並不是因為我們比較聰明，也不是我們在大學時期比較用功， 而是因為我們更常用到積分的定義。
既然遺忘是常態，那麼課程的規劃， 是讓學生經常有機會再次遇到它比較好？還是閉上眼睛教過了就別再碰它比較好？ 應該是前者吧。所以說「螺旋」的動機之一，就是為了對抗遺忘， 幫助學生內化學習的內容──也就是形成素養。
最後，如果「螺旋」課程那麼多好處，為何大學不用？ 為什麼大學課程都是塊狀的（一門課一個主題）？ 我要分頭回應這個問題：
以上說明，即使老師們仍然不能接受，起碼希望可以諒解。
【後記】
為什麼不在一開始就教「對數將乘除變加減，次方變乘法；這才是對數出現的原因」？ 首先，課綱無法規範到這麼細節的教學內容。 其次，因為前述性質必須安排在對數律之後，所以只好安排在 11 年級。 對 11A 的學生而言，上述功能已經被科技工具取代，不容易「有感於」它的威力， 所以在設計課綱時，並沒有寄望 11A 把它當作重點； 可能寫在文字框裡就好了。 但是，我個人倒是希望 11B 多著墨於此，從歷史與文化的視角來認識對數。 顯然這樣的教材還在盼望中，我倒也不急，11B 還太新，需要時間來發展。