數學課程綱要

美國的比例課程座落與教學設計

本文分享劉珈妤的碩士學位論文。

• 劉珈妤（2024）。臺灣及美國數學教科書比例單元之內容分析。國立中央大學數學系未發表之碩士論文。〔論文全文，PDF 檔案，5 MB〕
• 附錄一：美國六、七年級「比例」教學例與課後練習。〔895 道中英對照並且附上情境分類的題目〕

為了支持劉珈妤的碩士班研究功課，我採購了第一套美國數學教科書。我徵詢在美國國中階段 (middle school) 任教 20 年的臺籍數學教師，依她的建議選擇了 Connected Mathematics Project 3，簡稱 CMP3；我採購了 CMP3 的 4–8 年級教科書。CMP3 是依據美國共同核心課程標準 (CCSS) 設計的。我很晚才探究美國數學課程與教材的原因，寫在 前文 不再贅述，而美國 Common Core 課程標準 (CCSS) 的介紹，以下前兩篇短文可資入門，第三篇是珈妤使用的 2022 年更新版原文。

• 單維彰（2013）。美國各州共同數學課程標準。科學月刊，527，2–4。〔全文〕
• 蘇惠玉（2015）。CCSS 餘波蕩漾：近年美國媒體的數學教育論戰。數理人文，3，83–89。〔全文〕
• Council of Chief State School Officers (CCSSO, 2022). Common Core State Standards for Mathematics. Washington, DC.

珈妤在 112 學年第二學期要參加教師檢定考試，我知道這是生涯大事，所以並不催促她的論文進度。幸好珈妤動作敏捷，值得信賴，也感謝臺灣師範大學數學系王婷瑩教授、中央大學數學系俞韋亘教授本著愛護與鼓勵學生的態度，答應擔任口試委員，對我們的初稿提供了寶貴意見，讓我們據以修訂與擴充。

珈妤這一份碩士論文，有許多內容是在口試之後才做的；數學系碩士班沒有「開題」程序，而珈妤的口試變得像是開題，好像先口試再研究似的。這是很少有的經驗，但珈妤勤奮確實地完成了我在口試後提出的各項要求，將這份論文的內容補充得頗為豐富。

婷瑩老師留給我們兩項主要的指教：(1) 作者的立場不夠清晰，(2) 讀的時候為臺灣抱不平，感覺臺美的比較不公平。口試後的論文修訂，除了補充內容以外，我們專注於訂正婷瑩老師的這兩項指教。比如說，王老師認為臺灣九年級教相似形，怎麼可能沒有連結比例？我們於是更謹慎地檢視臺灣教科書〈相似形〉單元內容跟比例的連結，而確認了連結真的薄弱。或許，臺灣學生到了九年級學習相似概念時，已經足夠成熟，早已內化了比例概念，並不需要教科書提醒比例的連結。但兩地的課程畢竟不一樣：美國課程在同一年級學習比例與相似，它們是緊密連結的。

珈妤在她的論文第 2 頁自述了研究動機與立場，但我想一名年輕的研究生基本上還沒有清晰的立場。我挑選「比例」與「美國教科書」這兩個主題給珈妤，當然也有自己的動機與立場，簡述如下。

• 長期觀察臺灣的教科書、習作、測驗卷、參考書等，認為這些學習資源提供基本練習的機會太少。臺灣學生做的練習並不少，但是大多屬於較複雜的數學解題，反而缺乏基本練習（我稱之為「刻意練習」）。就好像不紮馬步立刻想要擁有武術。我已經知道美國教材這方面相對做得好。
• 長期觀察臺灣的教科書、習作，認為情境題過多，有太多無謂的 — 甚至是無聊的 — 情境問題。不知道美國教材是否也布置很多情境？
• 臺灣的比例教學太注重比值，使得「比」跟「分數」幾乎沒有差異，浪費了「比」這個極為簡單實用的數學物件，而且模糊了「比」本質上異於「分數」的概念。不知道美國教材有沒有區分「比」與「分數」，而善用「比」的簡單特性？
• 幾何課程中，相似應該比全等重要，而比例觀念在數學內部最自然的連結就是相似形（比「分數」更自然）：按比例縮放，比例常數不變。臺灣把相似放在全等後面才教，太過形式化，而且把相似和比例分開來教學，導致比例的學習內容較為空洞。不知道美國如何？
• 臺灣在小學階段似乎把「部份：部份」稱為「比例」，而「部份：全體」稱為「比率」，我認為這是不當的語用；因為它跟高中、大學的語用不相容，也跟英語的數學詞彙不相容。我心目中的大原則是：比例對譯 ratio，比率對譯 rate。觀摩看看美國教材怎麼表達？

  其實，根據接觸大學生的經驗，國小的「比例／比率」語言，幾乎沒有在學生心裡留下任何印記。所以這項不當的數學語用，似乎無關緊要。讓我感到憂心的是：國中以後似乎缺乏從「比例」到「佔比」的持續操作，可能導致很多學生忘了怎麼做。我跟珈妤約定，把「部份：全體」稱為「佔比」。但是，她可能做了全文置換，導致第 16、17 頁引述課綱的時候，也把「比率」改成「佔比」了。很抱歉論文出現這個錯誤；請看後面的「勘誤」。我也順便發現：在 97 年版的九年一貫數學課綱以及 108 年版的數學課綱裡，國小以後都沒有再出現「比率」。

• 正比應該是兩量關係，更適合跟一次函數放在一起學習，但是也應該連結比例 — 正比的兩個量 \(x\) 和 \(y\) 不僅符合函數關係 \(y=kx\)，也符合固定的比例，即 \(x:y=a:b\)。但臺灣的教科書兩者都沒做。不知道美國如何？

透過珈妤的探究，我發現美國的「比例」課程設計大部分符合預期，沒有什麼驚奇。但是她卻在臺灣課程發現一件讓我驚訝的事：很慚愧，我早該知道的，但是過去一直沒注意，那就是 108 課綱刪除了六年級的「正比」。根據珈妤調查，108 課綱的國小教科書刪除了「正比」單元，但是國中教科書卻沒有增加「正比」教學內容，導致 108 課綱之後的六、七年級學生，比以前少掉約當 12 頁的學習機會。

珈妤的這項附帶發現，讓我想起曾聽林勇吉教授說，他採訪七年級數學教師，發現 100% 受訪者「不察覺」學生曾經在國小學過「比例」。不知道他當時說的是「比例」還是「正比」？根據勇吉老師的發現，或許 108 課綱導致的「正比」學習機會縮減，並不影響學生的整體數學素養。這應該是一個做實徵研究的好機會。若是如此，國小的數學課程是不是很浪費啊？

勘誤

真抱歉，口試後修訂了三回，再看還是有錯。

1. 頁 16、17，表 2-4、2-5 裡，引述課綱的 N-5-10、n-III-9、N-3-14、5-n-14 條文中，「佔比」都應該還原成「比率」。
2. 頁 44「附錄一為美國版題目，共 859 題」其實是 895 題。
3. 們把研究範圍限定在「比例」而不包含「正比」，這是確定的。原因有二，一方面我認為應該把正比、反比歸類為兩量關係，二方面因為美國教科書僅在「比例」單元就有這麼多的教學例與練習題，若納入正比，工作量怕會太大了。但是，珈妤寫 CMP3 在 7 年級沒有正比卻不盡正確，我在後面解釋。

為了珈妤的研究，我需要觀摩美國國中階段 (6–8 年級) 教科書，但為了查詢他們的課程設計脈絡，我也一併採購了 CMP3 的 5、6 年級教科書。我發現小學階段的教科書比國中更厚：國中是每年一冊，國小卻是每年兩冊。粗略看來，主要差異是國小課本內含習作版面，也就是學生在書本內練習，而國中課本比較少留白，也就是學生可能在自己的簿子上練習。

國小教科書有一個吸引我的設計：數學課本也像國文課本似的，有「生字」教學。我看到 CMP3 四、五年級課本的每一章都從「建立詞彙」(Vocabulary Builder) 開始，甚至還有搭配簡例的生字卡。我認為這是非常值得學習的教法，也反應 CMP3 落實「數學溝通」的作法。國中教科書就沒這樣做了；我也認為應該在國小提供數學詞彙教學就夠了。

另外，從國中 (6 年級) 起，CMP3 課本就像獨立小冊（每單元一冊）的精裝合訂本。一個對比的特徵是：國小課本有總目錄，但國中課本就只有各大單元（各小冊）的目錄，沒有整本書的總目錄。這樣的編輯，似乎暗示國中課本裡的各大單元並不對應教學順序。國三（8 年級) 教科書除了一冊精裝本之外，另外提供選購的小冊，這似乎暗示國三已經開始有選修內容。

CMP3 各冊頁數簡記如下（包含夾頁與附錄），這樣的厚度相當驚人。讀者要知道美國人的習慣，課本並不會在家庭和學校之間背來背去，原則上放在學校；有些關心孩子功課的家長，為了讓孩子放學回家還有課本可以看，只好另買一套放在家裡。

• 4 年級上冊 384 頁
• 4 年級下冊 530 頁
• 5 年級上冊 404 頁
• 5 年級下冊 434 頁
• 6 年級合訂本 630 頁
• 7 年級合訂本 938 頁
• 8 年級合訂本 722 頁，另加選購二小冊 120、124 頁

接著，以我的觀點列舉珈妤碩論或者我觀察 CMP3 的重要發現。

過份強調「比值」的害處

其實早就有人察覺此害了。珈妤的文獻探討找到以下結果：

• 陳蕙茹、柳賢（2010）。分數表示式對等比例概念建構影響之研究。臺中教育大學學報：教育類，24(1)，27–47。

研究結論就是比的「分數表示」（也就是比值）很容易混淆學生的觀念，建議教材應明確釐清「比值」、「分數」與「等比例」三者的定義，並幫助學生了解三者的關聯。我補充：(1) 此研究結論支持我觀察教材之後所做的推論；(2) 了解三者的關聯，屬於「識」向度的教學目標。

有情境：無情境

在珈妤研究的範圍內，美國 CMP3 教科書的教學例與課後練習「有情境：無情境」的題目比例是 \(78:22\)，而臺灣國高中合併在一起的比例恰好是 \(1:1\)，可見美國的「有情境」佔比遠高於臺灣代表版 (\(78\%\gt50\%\))。但臺灣的國小、國中階段之分布樣式 (pattern) 明顯不同：國小「有情境」佔比 \(54\%\)，國中「有情境」佔比 \(38\%\)。這應該是筆者和不少同事感覺小學教科書裡情境過多的原因。

可是，情境數量／佔比是一回事，情境品質又是另一回事。評估情境「品質」的實徵研究是一大考驗，我還沒有嘗試過。只是在瀏覽這麼多題目之後，很明顯感覺臺灣的情境品質不良，就像有些同仁的批評：「為情境而情境」。

且不論情境品質，就情境的分類而言，「有情境」問題的情境屬性在

個人：職業：社會：科學

當中的分布情形，臺美兩版分別大約是

美國 \(12:3:4:1\)
臺灣 \(\phantom{9}9:2:4:1\)

從比例和佔比看不出筆者認為「臺灣教科書／習作提供刻意練習的機會不足」的感覺；特別是國中教材有 \(62\%\) 的「無情境」題，感覺似乎屬於刻意練習。但是並非如此：一方面，部分「無情境」題是純數學佈題，並不能算是「刻意練習」題；另方面，從題目數量可見國中階段的情況特別嚴重：臺灣七年級的「無情境」題目只有 52 題，美國有 201 題。簡單的評論是：小學情境過多，國中練習不足。（表 4-2、表 4-5）

正比與線型函數

美國把比例和正比拆開來看待 — 德國也是 — 正比是兩量關係。但「兩量關係」其實先於比例的教學，CMP3 在五年級下學期（分數運算的教學之後）就藉著在「規律」(Patterns) 主題實際上引進了正比關係，只是沒給它名字。其實這一章（第 9 章）引進了第一象限的直角坐標，藉由二維數據資料的圖形表達而引進坐標描點，然後以實際情境中的數據自然引進折線圖，然後「發現」某些二維數據（兩量關係）的折線圖其實就是直線。五下第 9 章的教學內容對應 4 項 CCSS 條目，所以 CMP3 安排的這些「正比」與「直線」內容，應該並沒有超綱。

六年級 Variables and Patterns 單元繼續準備函數觀念與兩量關係；相對於五年級的兩量關係全部以數據表格呈現，從表格轉換到坐標平面上的圖，六年級則引進了變數符號，並將兩量關係寫成等式。這時候就出現了諸如 \(T=0.06P\) 這樣的正比關係式 (Proportional Relationships)。六年級這一單元的重點並不是正比關係，而是兩量關係，課本出現許多圖形（坐標平面上代表兩量關係的曲線），教學生如何解讀那些曲線。直線圖形、正比關係，只是各種關係的其中之一。書裡出現「變化率」(rate of change) 當是並沒看到對譯「正比關係」的英文詞彙。

七年級正式定義 rate 是一種特殊的 ratio：A comparison of two quantities measured in different units [Comparing and Scaling, p.43]。此時不怎麼複習「佔比」— 佔比已經在六年級做了很多練習（搭配百分號的學習），最主要的教學例就是正比關係，例如 \(C=13n\) [p.47]。雖然已經學了兩個變數的等式，但是此處又回到一個變數符號，但本質上是兩量關係的數據表格與圖形表達（坐標平面上的直線）。只是一個量用 \(x\) 表示，另一個量用文字描述罷了。我認為這裡有點錯亂，似乎沒必要設計這麼複雜的螺旋。順便發現 CMP3 藉由比例式中的分數，介紹繁分數化簡。

七年級比例單元 (Comparing and Scaling) 之後，就正式進入了「線型關係」(Linear Relationships)，單元標題取「直直向前」(Moving Straight Ahead)。課文開頭就明確連結六年級的 Variables and Patterns，將正比關係 (proportional relationship) 當作線型關係的前置經驗。CMP3 一旦引進線型關係，很快就從正比關係延展到一般線型關係，也就是有常數項的（平移的）正比關係。在臺灣，這就叫做「一次函數」，但是美國教材並沒有立刻使用這個名稱。此單元內，線型關係 \(y=ax+b\) 對應了圖形，也認識了它的斜率。當 \(y\) 指定一個目標數之後，兩量關係就變成了一次方程問題：\(ax+b=c\)。此設計支持了我最近提出的另一項主張：不需要為「一元一次方程」設獨立的教學單元。

按比例縮放、相似形、縮放倍率

同樣也是在考察國中教科書時，我察覺臺灣的數學教材把代數和幾何分開得很遠，而解析幾何先來，平面幾何後到，在平面幾何當中，相似放在全等後面，用全等來論證相似。這些設計切斷了數學內部有機的、自然的連結，導致教科書更難呈現數學概念的自然關連與發展；例如，我國的比例課程幾乎不見幾何方面的應用，到了學習相似形時，也沒有趁機連結比例。CMP3 在七年級其實先引進「按比例縮放」，發展了相似圖形的概念，甚至用它解決了簡單的大地測量問題，然後才正式進入比例單元。當然，我在前面說過，國中階段的單元編排順序，不一定對應教學順序，所以在教學現場也可能先教比例再教相似形；重點是，這兩個主題搭配著出現，互相呼應。

五年級直角坐標，六年級有理數

這是附帶發現：跟 德國課程 一樣，美國也安排五年級學習直角坐標，而且僅止於第一象限。此項學習內容的編碼是 5.G.A。美國和德國都在六年級學習負數，而且負數是在有禮數的框架中引進的，把負數視為有理數的一部份，沒有特別強調負整數與整數數系。美國也是在學習負數之後，把第一象限的直角坐標擴張到全平面。有趣的是，五年級的直角坐標編碼屬於幾何，但六年級的直角坐標編碼屬於數系 (Number System)：6.NS.C.6b/c；這個編碼的選擇，富有深意。

直線方程式與線型函數

CMP3 將二元一次聯立方程安排在八年級的最後（除了另外選購的兩小冊以外）。換句話說，聯立方程幾乎是在國中階段的最後。課文從應用問題切入，所以沒有馬上出現直線方程式 (an euqaution of the line)，而是根據情境列出二元線型方程式 (linear equations with two variables) 的標準形式 (the standard form)。稍後才稱呼那樣形式的等式是直線方程式。這些方程式的圖形與斜率、截距等觀念，全都直接將 \(ax+by=c\) 化為 \(y=mx+k\) 之後來解決，並另教學。

CMP3 對聯立方程與直線方程式的課程設計，跟仲祐調查的德國教材一樣。

分數作為除數的教學

CMP3 在五年級下學期教導分數的四則運算，我發覺它引進「除以分數」的方式跟我和陳玉芬在《國中數學別冊》當中的設計完全一致：先引進除以單位分數的道理，再延伸到一般的演算法。而 CMP3 教導「整數除以分數」之後，緊接著連結分數與整數相除，這樣使得下一步「分數除以整數」能以較為一致的邏輯發展。在臺灣課程中，前述「連結」比「分數除法」提早一年出現：「整數相除即分數」安排在五年級，「除以分數」安排在六年級。我的猜想是：在處理離散量為主的臺灣五年級課程裡，整數相除與分數的連結是有認知挑戰的。

國中「起手式」

我很高興發現 CMP3 進入國中階段（六年級）的第一單元是因數與質數，第二單元才介紹負數。當我考察國中教科書時，察覺到「負數」作為國中的入門主題，似乎想要給學生下馬威，而不是友善地迎接國小畢業生。因此，半年前我開始設想：有無可能重排國一課程的學習順序？而思考的結果就是以因數、質數作為國小、國中的銜接點，完成這個主題之後才教負數。上個月，我已經寫了實踐此理念的實驗教材，公布在 [國中數學別冊] 網頁裡。為了測試那些讀本的「可讀性」，我請三位同事的子弟幫忙試讀，我原本以為他們的子弟是小學畢業生，但其實他們恰好都是即將升上六年級的小學生。

負數

順便說，我認為 CMP3 在六年級引進負數的教材教法非常不理想，不值得學習。另外，珈妤所做的「比例」主題在 CMP3 的六年級教材設計中，被拆散在三個不同章節裡，中間夾著負數，實在很不順暢。為什麼要將比例與負數的教學穿插在一起？（比例教學的範例與習題都未涉及負數）我參不透箇中妙處（我認為這樣的教材編序莫名其妙）。

雖然六年級引進了負數，並將坐標延展到整個平面，但正負混和的計算，卻是七年級才正式登場。與臺灣課程相較，負數的算法學習都在七年級完成，但美國學生多了一年的準備期，臺灣學生必須一次到位。 按照我國的數學思維習慣，馬上就會擔心：如果 \(b=0\) 怎麼辦？美國和德國課本壓根不理會這個邏輯漏洞，隻字不提。

機率與期望值

太好了，在我跟哲毓做的國中階段機率課程研究中，我們的結論之一就是機率課程應該從一開始就介紹期望值，讓機率和期望值肩並肩地出現。CMP3 七年級課本就是這樣設計的；查 CCSS 並沒有指定七年級介紹期望值，所以看來這是 CMP3 自己的設計。完全出乎預期的是，CMP3 在七年級引進機率的教材裡，就介紹了「伯努力試驗」。

我請珈妤在口試後補充的內容之一，是呼應林冠成的碩士論文（王婷瑩教授指導）。林文探究 IB 數學教科書中的「比例」單元，關注的重點是 PISA 2022 評量架構中的「21 世紀技能」（頁 10–11）；讀者可以從博碩士論文加值網下載林文。 珈妤按照同樣的規準，調查臺灣教科書的「情境題」培育 21 世紀技能的情形，將結果附於論文之末（頁 111–113）。按照林冠成的分析，IB 教材具「批判性思考」成分的情境題佔比最高，而臺灣是 0。臺灣掛零的項目還有「研究與探究」、「主動和持續」。珈妤認為臺灣教材的每道情境題都具有「系統性思考」成分，但林冠成認為 IB 教材只有 13% 具此成分。我猜想這是林、劉兩位研究者所持的判斷標準不同所致。這一部份的補充，並非珈妤的研究問題，只是我希望她附註於文末，做為未來進一步研究的建議。

• 林冠成（2021）。探討 IB 數學課本培養學生數學素養的情況－以比與比例單元為例。國立臺灣師範大學數學系未發表之碩士論文。