我們都知道微積分是由 Newton 和 Leibnitz 引入的. 但他們二人都把微積分建立在無限小 (infinitesimal) 的觀念上. 所謂無限小, 是指比任何有限正量都小的正量--但這觀念本身便有矛盾, 因為每個正數的一半都比它小, 同時我們也不能想像有限量以外還有什麼量. 因此除非我們建立一套不標準的數系來容納無限小, 否則我們必須為微積分建立更堅實的理論基礎.
堅實的理論基礎不祇滿足我們的求知慾, 而且對實際的解題也常有幫助. 事實上, 解決一個條理分明的觀念所產生的問題, 較解決一個觀念混沌不清的問題, 至少是容易下手多了.
高中生在數學上的推理能力一般不夠成熟, 所以其課程的內容無法要求理論結構的堅實與嚴謹 (rigor), 因此不得不以計算為主. 當然計算本身也極重要, 也一定應該學會. 大一課程旨在培養學生的數學推理能力, 使之臻於成熟. 但這不是一蹴可及的. 因此本教材分為上、下兩篇. 在上篇中仍採高中微積分的態度, 補足微積分的計算部分, 而於下篇中建立較嚴謹的微積分理論基礎.
本書的語言也有一項特色: 在上篇中我們混雜使用中文和英文, 愈到後面英文愈多, 在下篇則全用英文. 我們是主張科學中文化的. 但毋庸諱言, 我國的科學尚未到達領導地位, 大學生以後研讀功課尚須使用英文課本, 就業後亦不乏以英文閱讀與撰寫科學文字的需要. 培育英文能力, 此其時也. 因此循序漸進, 在大一微積分的課程中, 養成其閱讀英文數學書的能力, 可免日後的恐慌.
高中的微積分密集於``理科數學''課本的上冊和下冊的第一章, 內容包含了單變數微積分的大部分. 在本章中我們略述高中微積分的梗概, 而在以下兩章中將高中沒提到的單變數微積分的簡易部分補齊.