極限

雖然高中數學中建立了複數的體系, 但在微積分中我們只討論實數系. 全部實數的集合我們用 $\mathbb{R}$ 或 $(-\infty,\infty)$ 表示. 設 $a,b\in\mathbb{R}$, a<b, 我們定義

開間隔

$(a,\infty)=\{x\in\mathbb{R} : a<x\}$, a 叫它的左端點 (left end point).

開間隔

$(-\infty, b)=\{x\in\mathbb{R} : x<b\}$, b 叫它的右端點 (right end point).

閉間隔

$[a,\infty)=\{x\in\mathbb{R} : a\leq x\}$, a 叫它的左端點.

閉間隔

$(-\infty, b]=\{x\in\mathbb{R} : x\leq b\}$, b 叫它的右端點.

開間隔

$(a,b)=\{x\in\mathbb{R} : a<x<b\}$.

閉間隔

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R} : a\leq x\leq b\}$.

半開間隔

$[a,b)=\{x\in\mathbb{R} : a\leq x<b\}$.

半開間隔

$(a,b]=\{x\in\mathbb{R} : a<x\leq b\}$.

在最後的四種間隔中, a 和 b 分別叫它們的左、右端點. 在所有這些間隔裡, 不是端點的點叫它們內點 (interior point). 在閉間隔的定義裡, 我們也允許 a=b, 即 [a,a] 表示只包含 a 一個點的集合 $\{a\}$. 這間隔沒有內點.

我們也有時使用符號 $\exists$ 代表``有 $\cdots$ 使'', $\forall$ 代表``凡 $\cdots$ 皆''.

微積分的全部理論建立在極限 (limit) 的觀念上面. 但必須先有一些直觀的認識, 才容易瞭解極限的嚴謹理論. 以下複習高中課本裡對極限觀念的一些直觀介紹: