均值定理

均值定理也可以譯作中值定理, 其實是一系列互相關連的定理. 在微積分中如果要選少數個基本定理, 總不會把它們漏下. 可惜這些定理被現行的高中課本忽略了, 所以我們在此把它補足.

我們先敘述幾個要用到的原理:

一、設 f(x) 為 [a,b] 上的連續函數, 則 f(x) 必在 [a,b] 中的某點處取得最大值 (maxinum), 也在 [a,b] 的某點處取得最小值 (minimum).

二、若函數 f(x) 在 (a,b) 內的點 $\xi$ 處有極大或極小值, 而且 f(x) 在 $x=\xi$ 處可微分, 則 $f'{(\xi)}=0$.

三、若 f(x) 在 [a,b] 上連續, $\eta$ 為 f(a) 和 f(b) 間的一數, 則 [a,b] 內必有一數 $\xi$, 使 $f(\xi)=\eta$.

這些定理從圖形上看雖然都很明顯, 而且在高中課本裡也都約略提到過 (二的證明可見高中課本), 但除二外, 證明卻都不簡單. 其餘的證明則留到下冊我們再講. 以下以這些定理為基礎, 給出均值定理的完整敘述與證明.