代欽、松宮哲夫（2017）。數學教育史—文化視野下的中國數學教育。北京：北京師範大學出版社。
轉眼間，我從圖書館借這本書已經滿五年了。每次期滿，我就捧著它到圖書館辦理續借。 今天又期滿了，我雖已經辦理續借，而且沒有另一個人想要競爭這本書， 但是感覺不好意思，決定趕緊記下書摘，把書還了吧。
我在 2020 年 5 月 8 日首次讀完這本書。2024 年 4 月，為了準備到呼和浩特拜訪作者代欽教授，在旅途中讀了第二遍。現在寫書摘，相當於要讀第三遍；但是這一遍當然只讀前兩回貼上標籤的部份。我邊讀邊寫，一共寫了四個整天。
從資料看，這本書稍早曾在 2011 年出版。書內使用的資料大約到 2005 年。
第二位作者松宮哲夫 (Tetsuo Matsumiya, 1933–2024/10/26) 是前輩。他撰寫了第 9 章第 5 節〈數學教育研究實例三則〉，並為第 8、9 章補充史料（清末、民初的數學教育）。
因為我學習數學史、數學教育史的目的（我也是「功利主義者」）是為了做當下的數學課程研究，所以特別關注於近代史，就不太注意古代中國數學教育的細節了。因此， 以下書摘，幾乎略過前六章：先秦到明代。 我心目中的中國「現代」數學，是從利瑪竇與徐光啟相遇於北京開始的，大約就是西元 1600 年。而「現代」數學與數學教育又可以再粗略分出「近代 — 現代之初」和「現代」，個人用鴉片戰爭（大約 1840 年）來分割。
在徐光啟之前，可以粗分為科舉前、科舉時期兩大段，大約以西元 600 年分界。 簡單說，唐朝科舉有算學考科，還有一套標準參考書：《算經十書》。 唐代以後，考科就不一定有算學了，而官方的教育機構也不一定提供算學教育。 明代之初，朱元璋曾經恢復算學考科，但是很快又被取消了。 科舉不考算學，對民間的數學發展不見得一定是壞事，但我不急著討論這件事。
雖然我還是對早期歷史很有興趣，但不急著學習它們。這裡先說明一個背景： 「算」字以前都寫「筭」（讀音仍是「算」），「筭」是算籌這個物件，「筭術」的意義比較明確：就是操弄「筭」的方法，這是古代數學的概念心像。 從清中葉乾嘉學派起，變得比較常用「算」字。 雖然「數學」一詞自古就有，但一直屬於小眾，而且看來都是「筭術」的修辭性同義詞。 清末民初主要說法是「算學」，在對日抗戰期間正式改成「數學」。 具體來說，1941 年以前，我們的「數學課程」稱為「算學課程」。
王國維翻譯的日本數學教育家藤澤利喜太郎的《算術條目及教授法》(1901)， 江蘇省《算術商榷會報告》(1917)、《中等算學教授法》(1923)， 小倉金之助的《算學教育的根本問題》(1930)， 南中國數學會的《數學教育雜誌》，以及清末民國的一些珍貴教科書。
中國古代歷來不禁曆算，可以私授。但明代嚴禁民間私習曆法...。 為了保證天文曆法的官制（欽天監）得以繼續，又為保證天文曆法不傳入民間，明朝採取了另一項極端措施：「（欽天監）監官毋得改他官，子孫毋得徒他業」（明史．職官志） 並規定：若子孫不習天文曆算就「發海南充軍」（明會典卷二二三）。稍早 (p.109) 代老師說過
禁「三式」和「天文」的私學，一直是晉代以來中國封建王朝的國策，宋代更加強了這種禁令。三式指六壬、太乙、奇門遁甲這三種以「式盤」為主要操作工具的占卜方法，而天文雖然也觀察七政（日月金木水火土）與星宿，但重點比較像占星 (astrology) 而不像天文學 (astronomy)，是用來預測未來人事吉凶的。為了「國家安全」，古代王朝保護這些知識的動機是可以理解的。
《幾何原本》(1607 年出版) 後來成為中國數學家的必讀書之一。
《崇禎曆書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學、歐洲的三角學和納皮爾的算籌等也同時介紹進來了。因為當時華人無法直接閱讀西方文獻，西方知識都由傳教士帶來，而當時的傳教士仍以天主教修士為主，這些人不會帶來日心說。注意前面說的「算籌」並非對數。
明末在華傳播最廣的西方數學是幾何學。...該時期學者們研究幾何學的情況大致分為兩種。 一是揣摩幾何學的內容，將其與中國傳統的勾股術相比較，...例如徐光啟的《測量異同》和《勾股義》； 二是深入理解幾何學的內容，銜其綱而通其意，...寫成反映《幾何原本》主體內容的簡要著作，以便中國人學習。... 1650 年，波蘭傳教士慕尼閣 (J. Nicolas Smogolenski, 1611–56) 來華時， 對數傳入中國，1664 年薛鳳祚 (1599–1680) 彙編《天文會通》，其中有「比例對數表」一卷，這是在中國首次系統介紹對數並使用了「對數」這一名詞。
1713 年，康熙皇帝正式設算學館於蒙養齋，選八旗世家子弟學習數學。...同年詔修《律呂》諸書，求海內暢曉樂律者。雍正十二年 (1734)《大清會典》：「八旗官學增設算學教習十六員，每旗擇學生資質明敏者三十餘人，定於每日未、申兩時教以算法。」
雍正皇帝對數學教育的貢獻之一是創辦書院。...清初因為害怕堅持民族氣節的漢族知識分子利用書院宣傳抗清思想，乃明令禁止〔創辦書院〕。到雍正十一年才允許辦書院。... 〔雍正時期〕發展很快，由省發展到州、府、縣，大約有 4000 所左右。...乾嘉學派 (1736–1820) 以講究訓詁考據為特色，致力於古籍整理和語言文字研究，以數學研究服務於經學，使中國古代數學得以中興。...民間數學教育遠遠超過了官方數學教育...原因（之一）是乾隆三年停止了國子監的算學教育。
... 並不是數學書，但其中含有重要的曆算知識，如《墨經》、《易經》、《左傳》等，考證清楚這些對「通經」十分重要。乾嘉學派的考證工作首先是從通經開始的，但是為了通經而研究和傳授數學和其他自然科學知識的目的不同。...有人視其為「實學」而加以提倡，有人將它們作為手段，忽視它們的獨立價值。
同治五年十一月初五（1866 年 12 月 11 日）奕訢奏請在同文館內增設天文算學館。設館的原因寫的是「因思洋人製造機器、火器等件，以及行船、行軍，無一不自天文算學中來。現在上海浙江等處，講求輪船各項，若不從根本上用著功夫，即學皮毛，仍無俾於實用。」而招考對象是「滿漢舉人及恩、拔、歲、副、優貢，漢文業已通順，年在二十以外者。」年齡定得頗大，恐怕是因為當時年輕人志不在此。
此議受王公大臣反對 — 例如大學士倭仁、御史張盛藻等人 — 他們可以忍受同文館教外文翻譯，但不能忍受傳授西方知識，認為天文算學是「術數」、「末技」，而「師事夷人」有傷國體。
同治五年十二月二十三日（1867 年 1 月 28 日）奕訢等人再次奏請在同文館內增設天文算學館。這次聲明「並非矜奇好異」，而實在是因為
西人製器之法，無不由度數而生。雖然奕訢等人可能並不真的明白，只是接受了這個觀念，但現在看來，此說確實中的。 我認為這是清末對待數學教育之態度的一個濫觴：此說傳開之後，佐以後來的局勢發展， 肯定有越來越多的學舌鳥，人云亦云，形成風向。懂得內容的人少，勤奮往裡面鑽的人多，導致數學學習的品味變得過於表象，這樣的風氣可能一直影響今天的數學教育。
倭仁不信任洋人，擔心「夷人詭譎未必傳其精巧」，又自負中國人才濟濟，朝廷一呼百諾，怎麼會沒有自己人可用？同治六年二月十五日（1687 年 3 月 20 日）倭仁上折：
天下之大，不患無才，如以天文算學必須講習，博采旁求，必有精其術者，何必夷人？此說某個角度看也不無道理，最終奕訢還是找到李善蘭來主持算學館（從曾國藩陣營挖角）。但換個角度則甚可悲：天下之大，竟然真的找不到幾個貫通中西的數學家。 奕訢抓住這句話，三月十九日（1867 年 4 月 23 日）奏請倭仁負責找到「精其術者」來開辦「算學必須講習」。才隔一天，三月二十一日倭仁就退縮了，他說：「應請不必另行設館，由奴才督飭辦理。況奴才並無精於天文算學之人，不敢妄保。」我認為倭仁還算誠懇負責，只是大變臨頭，一時驚慌失措了。
同文館的數學教育成就：掀開了中國數學教育的新頁。...最能體現同文館算學教學成效的具體例證應屬《同文館算學課藝》...有光緒六年（1880）同文館聚珍版、光緒二十二年石印本。我在內蒙師大李迪書院和代欽書房都翻閱了這本書。 我對它本來抱有很高的期待，但老實說翻閱之後失落感比較重。 就我初步的印象，這本書並非教學講義，比較像學習成效展現 — 以考古題附詳解的形式展現。 而且，我翻閱一遍的印象是：課業內容沒有微積分，也沒有對數與三角。
【後記】閻鴻中教授指教
「課藝」一名由來已久，也稱試藝，意思是學科考核，如文科的八股、策論，武科的騎射、兵法等，凡命題作文、試題作答、考核表現，都叫課藝。早先有書商會匯編科考範文，加評語批改，賣給考生觀摩學習，可以大發利市，《儒林外史》中馬二先生、匡超人編印「程墨」「考卷」的故事就極寫實又諷刺入骨。有趣的是，清代後期流行由書院編印課藝（清代書院通常是一省最高等級的公立學校，猶如省中、甚至省立大學。），都是範例觀摩版，每篇各有學生署名，有時一題之下不只一篇，有老師的評語及回應意見。這樣的「課藝」，除了供學生彼此觀摩之外，也做為教學示範和成果展示，的確可以反映教學的重點和方法。
我手邊有本徐雁平著的《清代東南書院與學術及文學》，下冊第一章是「清代東南書院課藝提要」，介紹了幾十種書院編輯出版的課藝書，看來課藝書的發行比編教材還受重視。
...李善蘭在翻譯過程中創造了大量中文數學名詞術語，其中有許多被普遍接受並沿用至今>，如函數、微分、積分、級數、切線、法線、漸近線、拋物線、雙曲線、指數、多項式...《決疑數學》(1880) 是傳入中國的第一部機率論著作。
1890 年，江南水師學堂的駕駛和管輪專業中，都設了微積分等數學課程。注意那時候說的「數學」是指「算術」，有時候也指初級的數論。 我在 2023 年專程訪問福州船政學堂，我認為它是清國第一個官辦西學內容的學堂，資料顯示它成立於 1866 年。船政學堂的第一、第二屆畢業生，幾乎全部葬送在甲午戰爭的海戰，兩位主要的倖存者是嚴復和薩鎮冰；嚴復可以說是被郭嵩燾救下來的。船政學堂的數學功課就有平三角，他們的學習一定很困難，因為教習是英國人、法國人，教科書是英文、法文書，只有幾名助教可能居中翻譯。這也是一種「雙語教學」？！1895 年，在天津設立中西學堂，分頭等學堂和二等學堂兩級，是我國學校分級之始。 頭等學堂為大學本科，二等學堂為大學預科（相當於現在的高中），修業各四年。
二等學堂招收 13–15 歲，讀過四書並通一、二經，文理稍順者。 修業四年，每年都有英語，第一、第二年有「數學」，第三年「代數」，第四年「平面量地法」。
另外，我也認為官方引進新數學的前哨站，都是軍校。美國的西點軍校從法國引進新數學，曾經是全美數學課程最先進的學校；清朝的各種武備學堂也是如此。研究教育者，包括研究數學教育者，如果忽略貿易和戰爭，將會流於瞎子摸象。
1877 年 5 月，在華基督教傳教士第一屆大會在上海舉行。...美國北長老會傳教士丁韙良 (M. A. P. Martin) 提交了一份關於教會世俗出版物的報告，倡議傳教士撰寫有關世俗知識的教科書。 英國長老會傳教士韋廉臣 (A. Williamson) 建議設立一個組織，專門解決教科書問題。 於是大會原有的 Committee Literature 提議組織一個專門委員會，為當時教會學校編輯出版一套初等學校教科書。 最後大會通過了這個提議，將該委員會定名為 School and Textbook Series Committee 並定其漢名為「益智書會」，但口語譯為「學校教科書委員會」。 會議任命丁韙良、韋廉臣、狄考文、林樂知、黎力基和傅蘭雅等先生負責籌備編寫一套小學課本，以適應當時教會學校的需要。當時那些熟稔中文的西來傳教士將 textbook 譯為「教科書」，這一詞沿用至今。
傅蘭雅編輯《譯者手冊》。... 委員會一致主張沒有「中英詞彙表」的書和文稿一概不予出版。... 教材...以西方數學知識為主，涉及算術、幾何、代數、解析幾何等。 加減乘除符號改成現在通用的，分數記法採用分子在上、分母在下，數字採用阿拉伯數碼， 這三點均為進步。偉烈亞力《數學啟蒙》二卷（1853）的水平低於狄考文《筆算數學》三卷（1892），流傳之廣也不及...
1895 年 7 月，譚嗣同寫〈興算學議〉。譚嗣同另有一篇〈上江標學院〉，在這篇文章裡說
中國自商高而後，以數學稱者，代不乏人。譚嗣同頗特別的，他在 1895 年寫的「學院」和「數學」都不是當時的習慣用語。
1904 年，頒佈新的學堂章程 —《奏定學堂章程》亦稱癸卯學制，包含蒙養院、初等小學堂、高等小學堂、中學堂、高等學堂、大學堂、初級師範、優級師範、初等／中等／高等農工商實業學堂、進士館等章程 — 可以說該章程是完全模仿日本學制而定的。 該章程雖然由張百熙、張之洞、容慶三人重新擬定，但實質上反映的僅是張之洞一個人的思想。... 這個章程是中國近代史上最早頒佈並經法令正式公佈施行的新學制，一直用到清朝覆滅。癸卯之前的壬寅學制 (1902 年) 標誌著新學校體系的誕生，但是它僅於公佈，並沒有施行。
1898 年 5 月梁啟超等人的〈公車上書〉要求廢八股試帖小楷取士制度 ... 1901 年 5 月，張之洞等人提出遞減取士名額，以學堂生員補充的建議； 這年 9 月清政府明令廢除八股，改試策論。 1903 年 11 月，張百熙、張之洞等人上〈奏請遞減科舉注重學堂折〉，並未主張廢除科舉，「實乃將科舉學堂合併為一而已」。從 1898 提議廢科舉，到 1901 首次有所作為，到 1906 實際廢止，實在太快了。要知道科舉其實三年考一次，等於只在兩屆考試期間廢除了沿用一千三百多年的社會制度。有人議論此舉正是加速清朝滅亡的關鍵點，我同意。那時候張之洞 (1837–1909) 將近七十歲，怎麼會這麼糊塗？可能他是故意的，但我猜想他更可能是年老貪得了；他再三年就過世了。至於袁世凱 (1859–1916) 本來就沒什麼可期待的。1905 年，袁世凱、張之洞等人認為科舉一日不停，學堂就興旺不起來，於是奏請停止科舉、興辦學堂。...認為這樣可以「廣學育才，化民成俗，內定國勢，外服強鄰，轉危為安」。清政府迫於形勢，於 1905 年 8 月「諭令停科舉以廣學校」，著令自丙午科始，所有鄉會試一律停止。〔西元 1906 年，至今快要兩個甲子了。〕
《奏定初等小學堂章程》第十一節：... 夏楚之可示威，不可輕施，尤以不用為最善。 第十二節：凡教授之法，以講解為最要，講解明則領悟易。... 萬一有記性過鈍實不能背誦者，宜於試驗時擇緊要處令其講解，常有記性甚劣而悟性尚可者，長大後或漸能領會，亦自有益。若強責背誦，必傷腦力，不可不慎。《奏定中學堂章程》：... 其講幾何，須詳於論理，使得應用於測量求積等法。
當時比較進步的是通過日本傳進來的赫爾巴特五段教學法，... 清末民初曾風行一時。
1897 年 2 月 11 日上海商務印書館正式成立，後來在張元濟、蔡元培、嚴復、林紓等人的努力下，成為中國出版界巨擘。商務印書館的《最新～～教科書》是晚清唯一一套完整可供小學（初等小學堂）四年使用的教科書。後來就有其他《最新中學～～教科書》，大概是想要蹭這個名稱。當年的「最新」如今其實是「最老」的國人出版之數學課本。1902 年，上海創辦了文明書局，開始商業編印教科書。 同年，商務印書館設編譯所，...先後編輯小學各科教科書兩套，共 19 種， 為系統編輯出版全套教科書之始。
1904 年，首次正式出版中學數學課本。
1906 年，學部示諭教科書審訂辦法。
清朝不但照搬日本的數學教育制度，而且大量翻譯日本的數學教科書。比較有影響的國人自編數學課本，有丁福保《蒙學心算》和《蒙學筆算》（文明書局，1903）、 徐寯編撰，杜亞泉、張元濟校定《最新筆算教科書》（5 冊，商務，1904–1910）、 張景良《小學筆算新教科書》（5 冊，文明，1907）。
〔p. 203〕程蔭南的《新式數學教科書》自 1905 年至 1914 年第七版出版前，共銷售兩萬多冊，影響頗大。
在新學制下，中國中小學使用的數學教科書以國人自行編譯為主，其中多數底本取自日本原著或日譯西著。上述結論引自李兆華（2005），中國近代數學教育史稿，頁 182。
〔p. 199〕
當時數學課本可能還有很多是直排的。
武昌中東書社編譯的《最新代數學教科書》（1904）、
日本菊池大麓著，仇毅譯《中學校數學教科書幾何之部》（群益書社，1907）
採用橫排。它們都在編輯大意為自己採用橫排辯護。
〔p. 202ff〕
有些數學課本合參多個底本，由譯者編譯而成，很可能也參入自己的心得。
清末人們已經意識到自編數學教科書的重要性 ... 成就出適合國人使用的數學教科書。
方今國家廣設學堂，釐定課程，算學一科，與國文並重，童年入學之始，即與講授。... 兒童習算，其難有二：文字未通，講明不易，一也；知識未辟，運算不靈，二也。 而今日之為教員者，幼時概未習算，多半於中年後習之，一旦躬親教授，每以成人補習之程度，施諸童稚 ... 本書參照日本尋常小學校之程度。徐雋說的難處，正是小學（低年級）教師專業所需的特徵：不能靠文字，必須用語言和肢體活動來教學，要能「手把手」地教。而我認為此項「專業」在我國的小學師培，還有很大的改進空間。而徐雋說的教師現況，搭配前面提出的「人云亦云」社會風氣，很可能就是我國數學教育一開始就畫錯重點，導致今天這種略為偏狹的「特徵」來源。
在中國近代，第一次翻譯出版的數學教學理論著作，就是王國為翻譯的藤澤利喜太郎的《算術條目及教授法》，於 1901 到 1902 年間在《教育世界》雜誌連載。... 王國維的譯著《辨學》中也有不少數學歸納法等數學方法論的內容。這些工作是王國維 24 歲到 34 歲的十年間完成的。藤澤是 1900 年第二次國際數學家大會 (ICM, 1900 Paris) 的日本代表，他應該在現場聽了 Hilbert 的 23 個問題。 他在數學教育提出以下主張：藤澤留學德國，作《算術條目及教授法》（明治 28 年，1895，乙未）、 《算術教科書》（明治 29 年）、 《算術小教科書》（明治 31 年）、 《代數學教科書》（明治 31 年）、 《數學教授法講義》（明治 33 年）。
《辨學》是王國維 1907–11 年任職於清政府學部編譯圖書局期間，於 1908 年翻譯英國學者隨文（耶芳斯，Jevons，1835–82）的 Elementary Lesson in Logic: Deductive and Inductinve。1908 年 10 月益森印刷局發行，1931 年文化書社重印。嚴復的《穆勒名學》1905 出版，王國維認為還需要再譯一本邏輯專書，可能是因為嚴復的譯筆古奧，使其「意義不能了然」。但嚴復在 1913 也翻譯出版了 Jevons 的書，即《名學淺說》。普通算術不需要理論使日本數學教育走向了全國統一的道路。可以說， 藤澤利喜太郎和菊池大麓的數學教育思想，奠定了日本現代數學教育的基礎。明治 31 年制定的《尋常中學校數學科教授細目》、 明治 35 年《中學校數學科教學要目》完全是根據他們兩位的思想而制定的。
〔但是〕這與從 1901 年開始的英國和德國等國家的數學教育改革運動是背道而馳的。
《算術條目及教授法》由兩個部份的內容組成。第一編「凡論」為數學教育的理論，包含 12 項內容，第二編為算術的具體內容，包括 ... (4) 數之呼法與寫法，(5) 四則，(6) 諸等數，(7) 整數之性質，(8) 分數及循環小數，(9) 比及比例，(10) 步合算及利息算，(11) 開平方開立方不盡根數，(12) 省略算，(13) 級數，年金算 (14) 求積對數。
我非常贊成藤澤的普通算術主張，而且認為這是孫文「知難行易」的代表 — 我認為「知難行易」的最佳代表，就是語言，特別是母語。 藤澤也主張「數學教育」是需要研究的一門「學問」（跟後來即將形成的數學學門一樣），但是並沒想到後來發展成：把這門「學問」教給學生。 小學數學教育研究者為「普通算術」建立理論無可厚非，但是將這些理論實施在小學課程內，就非常值得商榷。 我以為：小學數教研究者主要研究的應該是「普通算術」的課程設計與教學法，「普通算術」本身的理論是次要的。
代老師說的「1901 年開始的改革」是指 John Perry (英) 與 Felix Klein (德) 引領的改革。或許這件事並沒有確切開始年份。標誌性的文件之一，應為 John Perry 出版於 1899 年的《實用數學》(Practical Mathematics)。 這件事連結後面「混合數學」那一節。
我不確定「步合算」是什麼意思？翻閱日文課本（都是 1930 年代的舊書）似乎是涉及小數的佔比、按比例分配。
藤澤利喜太郎認為數學教育有兩種目的：
以第一目的，則數學知識當深浸潤學者之腦髓，其重要之部分，雖經年月，尚存在其人之記憶，為必要也。 以第二為目的之時，則反之，學者將來忘數學可也，其人尚不失為有數學思想之人。
清末，除了王國維的工作以外，劉本樞、范鴻准在《小學校各科教授法》— 在《教育世界》 (1901–07) 上連載 — 裡面的數學教學法，較系統地介紹了自己的教學理論。〔數學教育〕必備實質的陶冶，與形式的陶冶兩方面，互相聯絡，方有心得。授以生活上必須之知識，謂之實質的陶冶，而算術之本質，則為形式的陶冶。... 算術教學之要旨有三：
其中精確之思考就是，體會數與數之間的關係，而修煉邏輯思維，發表明確的言語。
- 熟習日常之計算，
- 引導生活必須之知識，
- 發揮精確之思考。
京師大學堂師範館 1902 年 10 月招生的試題（12 月開學），在此列出 12 題，其中第 1 題就是單純的 3906 乘以 760，第 2 題問 5/6, 8/9, 7/15 之通分，第 3 題「問今有某數四倍減去四十五，其所剩之數必四十五減去某數所剩之數相同，其某數是若干？」。大多數問題皆為能力題，第 6 題為教法題：「問三角形內角和等於二個直角，以何法證之？」
學制規定 7 歲入學，至 23 或 24 歲大學畢業／21 或 22 歲專校畢業，整個學程 15 到 18 年，分為三段四級。小學數學教學法要求為：另外，下設蒙養院，上設大學院，不計年限。
- 第一段：初等教育
- 分為二級：
- 初等小學 4 年，為義務／強迫教育，畢業可進高小或乙種實業學校。
- 高等小學 3 年，畢業後可入中學校、師範學校、甲種實業學校。
- 第二段：中等教育
- 中學校 4 年，畢業後可入大學、專門學校、高等師範學校。師範學校預科 1 年，本科 4 年。〔另有甲種實業學校未詳述。〕
- 第三段：高等教育
- 大學預科 3 年，大學本科 3 年或 4 年。專門學校預科 1 年，本科 3 年（醫科 4 年）。 高等師範學校預科 1 年，本科 3 年。
教授算術，務令解釋精審，運算純熟，又宜說明運算之方法理由。在初等小學校，尤宜令熟習心算，算術問題宜擇他科目已授事項，或參酌地方情況切於日用者用之。
事實上，說壬戌學制反應「美國教育思想」並不確切，因為杜威與孟祿雖然是大人物， 仍不足以代表美國。不如說是杜威學派，特別是芝加哥大學教育學院以及 哥倫比亞師範學院 的思想。 我這樣說的一個主要理由是：
美國並未採用六三三制，美國的主流學制是五三四制。壬戌學制的《初級中學算學課程綱要》包括虛數、對數、幾何公理、三角（大意）。已經不見以前（也許在高小）的算法幾何。
壬戌學制的高級中學開始分軌，以升學為主要目的者，稱為普通科。普通科又分兩組：
壬戌學制期間編定的教科書內容與原定標準不盡相符，各校教學「鮮奉為準繩」，因此這次修訂「自鮮客觀事實可資取捨」，所以各科標準都加上「暫行」二字。《小學／初級中學／高級中學普通科暫行課程標準》於 1929 年頒行。特殊現象有：
引起學生研究自然環境中關於數量問題的興趣。普高算學不分組，但學習內容看來很接近壬戌學制的第二組（理組）課程，時間分配規定得更精確了：
1932 年，應該是有了足夠「客觀事實」而修訂課標，刪除「暫行」二字。 相對於 1929 年「暫標」，1932 年的數學「正標」在代數、三角有增，幾何則有減，解析幾何基本未變。看來已經開始減輕幾何內容。
注意 1932 年是壬戌 (1922) 之後十年，如果忽略「暫標」，從清末的第一份現代課綱開始，恰好可以說是每十年修訂一次：壬寅 1902、壬子 1912、壬戌 1922，壬申 1932。
但「正標」反應客觀事實的程度顯然不足，各地反應數學總時數過多，高中算學課程過於繁重，於是 1936 年頒佈「修正課程標準」。算學科的「修標」亮點是：
算學課程又恢復分組：自高二起分成甲、乙二組甲組沿用原「正標」的內容，但增加學分；乙組減少內容，降低學分。 看來南京政府的算學課標研修任務小組，並沒有比北洋政府的前輩同仁高明到哪裡。 壬戌學制的普高第一組算學課程，在 1936 年變成了乙組，第二組變成了甲組。36 年版的「修標」把「三角」挪到了高一，使得「三角」成為分組前的共同必修，此一安排沿到臺灣，直到 1970 年代受美國「新數學」影響而改變課綱為止。
從 1922–36 年間普通高中數學課程的分分合合來看，這件事情應該是頗為複雜的。
1936 之後不久，開始了八年對日抗戰。但政府並沒有荒廢教育，1939 年 4 月舉行第三次「全國教育會」，為「適合抗戰建國之需要」而重修各科課程標準。 從 1932 年（壬申）算起，恰好又是幾乎十年。 抗戰時期的《小學算術課程標準》發布於 1942 年（壬午）但初中、高中數學課程標準卻早一年（1941 年）頒佈；注意從這一屆起，「算學」改成了「數學」。41 年版的初中課標不再採用綜合內容（混合教學），重新分開各科。 而初中數學刪除了三角（大意）；這個主題從一開始就在初中課程裡，抗戰時刪除了。 1941/2 年課標之後，就可以看臺灣的教育部資料了。
從 1923 年開始〔受美國影響的壬戌學制〕，我國實行了初中數學的混合課程。混合數學可能是 integrated / correlated / fused mathematics 的對譯，應該就是臺灣說的綜合數學。此思潮可能始自英國的 John Perry，經由 Eliakim H. Moore 的 AMS 卸任演說（1902 年底）而在美國傳播開來。而 Moore 是芝加哥大學的教授，恰好杜威已經在芝加哥大學設立了實驗中學（簡稱 U-High），該實驗學校立即開始「混合數學」的教材教法實驗，對於該數學教育主張在美國的傳播具有代表性。
不要把混合數學與「普通數學／通識數學」(General Math) 搞混了。混合數學是一種課程設計方式，普通數學 — 其內容也是混合的 — 是指一門課，通常是開在 9 年級（美國的高一）的一門數學課，始於大約 1915 年，坦白說是為那些無法承受高中數學的學生準備的。本段內容引自下文。
混合數學與現在說的「螺旋式課程設計」有很細緻的關聯， 這兩種課程觀源自於非常類似的初衷，簡單說就是希望
混合式的數學課程是否也適合高中呢？在美國，緊接在 Moore 的演講之後， 芝加哥的 U-High 立即開始了混合數學的實驗，並且產生了一套具體的教材（後面闡明）。 芝加哥的實驗教材引起很多討論，但可能終究是叫好不叫座， 因為就事實論，直到 2010 年代， 我所見的美國加州高中數學課程都是分科的，假設全國都是分科的：一年份的 Algebra I、 Algebra II、Geometry，搭配選修的 Trigonometry、Precalculus， 然後是選修的 AP Calculus AB/BC、AP Statistics，2023 年起增加了 AP Precalculus。 直到 Common Core 之後才又重新出現混合的數學課程，稱為 Integrated Mathematics 1, 2, 3，理論上設計給 9, 10, 11 年級使用，但是在某些學區，可以在 8 年級就修 Math 1 (8 年級是 Middle School 的最後一年)。
至於臺灣的高中數學課程，表面上是混合的（或者說「綜合的」），實際上還是由「塊狀」的內容組成，也就是說：每一冊的數學教科書，由少數不同主題的大單元構成。 這樣回顧一下，就明白美國在高中階段混合數學的探索，已有百年歷史，至今還沒有從分科改為混合。 臺灣的高中階段在民國六十年代才開始 — 在格式上 — 改成混合式，但實際上仍然非常「塊狀」。這樣的現實或許表示： 高中階段也許本質上並不適合使用混合數學課程，也許高中適合像大學那樣分科； 但也可能表示：我們還沒有為高中數學學習內容找到合適的混合式課程設計。 這是課程研究的一個大問題。
針對壬戌學制的初中數學課程，段育華為商務印書館編寫的《新學制混合算學》教科書（全套 6 冊）銷量頗佳，第一冊在 1923 初版當年的八個月裡印刷 4 次，第六冊在 1926 年初版當年印刷了 15 次。這套書以代數、幾何為主，算術、三角為輔，合一爐而治，循著數理自然的秩序，編法特出心裁，和一切舊本迥然不同。即使是初中課本，也在名詞初見之處，附注英文。
1941 年，由於教授混合數學有相當大的困難，取消了初級中學的混合數學教學。(p.263)這一取消，就要等到臺灣實施九年國教時 (1968)， 才在國中又改成混合／綜合數學課程；而高中也差不多同時改變了。
關於混合數學教學方面，舒新城提出不少有價值的見解，他的研究和觀點具有代表性。他在〈道爾頓制功課指定概說〉一文中 ... 提出了混合數學教學的四條基本原則，其中上文引自
- 支配教材宜為演進的，便學生多有複習的機會〔丹：這很像螺旋式課程設計〕
- 方術上之學習宜多予練習，以養成其迅速正確之習慣〔丹：這很像刻意練習〕
前面的引文中，雖然舒新城的文章標題是針對道爾頓制，但所引的內容比較接近關於「螺旋式教材設計」的意見。
中等算學研究會反對螺旋，他們認為：
混合算學有減少反覆練習之弊，以至對一種基本事件不能嫻熟。例如算術中用文字作公式，以便於說明，但仍以便於計算為主，與代數中研究公式變化互換不同；幾何代數後附論三角，以解三角形為主，不能多言函數之性質。但余潛修反駁道：
我們覺得初中的算學，既然偏重直觀和應用，所有的教材亦該偏重計算和圖解，那麼代數中的公式變化和三角中的函數性質，不妨省略一些，留作高中教材。上文引自
〔余潛修認為〕美國的《布利氏新式算學教科書》（商務印書館，全套四冊）比德國的《混合法教科書》(Lehrbuch der Mathematik nach Modern Grundsatzen) 寫得更徹底，缺點是材料太多，用作初中教科書似乎有點不恰當。原來，在 1934 年就開始有人批評「雞兔同籠」了。有兩個課題，是我早年主張刪去，而現在很高興已經刪去，而且幾乎沒有引起反對風波的，它們是「雞兔同籠」（在小學）和「因式分解」（在初中）。〔余潛修批評前述段育華的初中混合數學教科書《新學制混合算學》第一冊當中〕 循環小數和雞兔同籠的問題，沒有必要，原因是所用的方法太繁雜、脫離實際生活。 他指責道：「這一切在純粹算術的較科書裡，我們都主張刪減一些，不致使初學者感到畏懼和枯燥，不料竟發現於混合算學裡面，這真有些令人不解」。
前述德文書名，英文翻譯是 Textbook of Mathematics According to Modern Principles，我沒看過，不一定是混合數學；德國所謂的「現代原則」很可能是 Felix Klein 所主張的中學數學教材教法。
至於布利氏 (Ernst R. Breslich, 1874–1940?) 是芝加哥大學實驗中學 (U-High) 的數學科「科召」(Head of Dept of Math in the University High School)， 他從 1903 年起，跟隨 George W. Myers (1864–1931) 教授（當時芝加哥大學數學系主任）熱烈回應 E. H. Moore 的 1902 演說， 在 U-High 展開混合數學的實驗教學，並自 1907 年起陸續出版他們的實驗教材。 這套教材起初是由 Myers 領銜主編的，到了第四版 (1915) 改成 Moore 領銜主編的叢書之一，而這本教科書由 Breslich 作為單一作者。
商務印書館洞察機先，在壬戌學制指定混合數學之前，就於民國九年 (1920) 請徐甘棠、壽孝天翻譯了 Breslich 的第一年教科書，稱為《布利氏新式算學教科書．第一編》。 余潛修稱讚此書內容好，但是不太適合放在初中。他的觀察很有道理，因為這本書是給美國 High School 學生使用的教材，而 High School 是高中，確切來說是 9–12 年級，應屆學生年齡為 14–17 歲。美國說的 Junior High School 或者 Middle School 才是初中。事實上，在他們的教育統計中，經常把 K–8 年級 (5–13 歲) 合併稱為基礎教育 (Elementary Education)，9–12 年級 (14–17 歲) 稱為中等教育 (Secondary Education)。
Breslich 一共出版了四本教科書，理應是給 U-High 9, 10, 11, 12 年級學生使用，但是在中國卻成了初中課本：
自民初以來，我國經常引進英國、美國、日本的教材，卻躐等躁進，以「超英趕美」為榮。余潛修對《布利氏》系列教科書的評價，是一份早年的見證。這樣的躐等課程，有些一直流傳到今天，我們要留意檢討。
1933 年後，影響較大的小學教科書，有商務印書館的《復興算術課本》四套共 16 冊，以及中華書局出版的新課程算術課本。 復興算術的一個亮點是一頁一課時，課時與課時間界線分明。這套教科書已經開始「注重兒童心理發展」。 中華書局是著名出版家陸費逵 (1886–1941) 在 1912 年離開商務印書館另創的出版機構。
在民國期間，小學算術教學法的研究十分活躍，... 相比之下中學數學教學法的研究較滯後。《第一次中國教育年鑑．戊》（周邦道編，開明書店，1934）說：「前清光緒二十九年癸卯學制頒佈，雖曾於章程中規定各科教授法，但當時教師多未予重視，教授法大部為講演式之注入法 ...。 民國八年以後受新文化運動及杜威教育學說之影響，中學教學法乃實驗風氣頗盛。 ... 民國政府成立後，為改進中學教學方法，乃著重教師之集體研究討論，教育部曾先後製定中等學校教學研究講習及討論會等辦法，頒佈施行。」注意前面寫的是中學，不是專指中學數學。至於中學數學，如下。
在《教育雜誌》上 40 餘篇數學教育研究文章中，僅有倪尚達〈全國中等學校數學科教授狀況調查〉（第 12 卷 5 號，1920）、杜佐周的〈數學的心理〉（第 18 卷 4 號，1926）兩篇與中學數學教學法有關。 而且後者為介紹外國學者對算術、代數、幾何的教學法觀點，沒有作者自己的研究成果。裘友石，改良中學校數學考試的商榷，北京高等師範學校發行的《數理雜誌》第 4 卷第 2 號。
數學是以自然為母產生的「反過來在自然科學的根底已見得蘊含其中的數學精神」。順著這個思想， 他主張「函數觀念是數學教育的核心」，後來劉亦珩和陳建功都這樣主張。 以函數為核心概念的數學課程設計原則，許多人提過，也許它當時就是「in the air」，不必追究「誰第一個講」。但我感覺 Felix Klein 可能是引領這個思想的重要人士。 在教材方面，小倉也倡議 HPM；事實上，在《布利氏》書裡，已經鄭重地寫了 HPM 內容。
〔頁 299〕李儼在《中國算學史》的序言中，對收集資料時給予幫助的人表示感謝時， 提到了三上義夫 (1875–1950) 和小倉金之助。李儼從 1913 年開始在隴海鐵道局工作，該鐵道局中國數學史部是發信者的住所，但自 1955 年開始他擔任了中國科學院自然科學史研究主任。 李儼與小倉的交流大約在 1937 年中斷，1956 年又恢復了交流。 1962 年 10 月 21 日，小倉逝世，李儼把弔唁信寄到數學史家下平和夫 (1928–94) 處。李儼於 1963 年 1 月 14 日在北京逝世。
數學教學的目標就是為了升學考試和會考。... 溫氏各書皆為前世紀之物，歐美各國早已摒棄不用者，反暢銷中國。... 當時中等學校用原文或譯本數學教科書的風氣之所以盛行的原因：一則教師之怠惰，二則教師與學生之虛榮，三則學校當局以為用原文書可以練習外文。上述「會考」不是今天臺灣的國中畢業會考，是指當時的高中畢業會考。 上述「溫氏各書」是指 George Albert Wentworth (1835–1906) 編寫的教科書， 他可能是美國十九世紀最暢銷的數學教科書作者； 後來，檢討美國數學課程「負面特徵」的人士，常常拿他的書當作檢討對象。 前面的引文來自
任意變動關係皆可看成函數關係，皆可作為數學研究之對象；函數概念乃一切科學之基礎（文化科學或自然科學），亦即數學教育之核心也。劉文還有一項觀察，至今仍值得我們深省：
在歐美國家，中等學校教師之教育意見恆處於進步地位，教育當局多採保守穩健色彩，而吾國卻適得其反。部頒課程標準不無可議之處，而大體上頗進步，中等學校教師卻仍把守十數年前之舊教本與方法，不肯改良。我不知道歐國如何，但美國的中學教師確實經常在「教改」運動中擔任領導角色，1930 年代以及 1960 年代美國數學教改運動中，都有出自高中的意見領袖。這個現象很顯然跟文化風氣有關。但另有一個原因：政府公佈的課標或課綱，是「學者」委員訂的，這些人通常沒有實際經驗，有的是從文獻得來的二手知識，而且挑選學術界知識的準則總是騖新而嫌舊，所以帶進母國的通常是外國（通常也僅是自己留學或考察的外國）最新流傳的知識（甚至在外國也是討論中的意見而非論定的知識），這些知識的確經常超前中學教師的認知。 我們的中學教師還沒來得及像美國同行那樣從內而外、由草根發起教學改良的意見，就先被學者教授搶了先機 — 學者教授也不見得是自己領悟的國內教學問題，而是從外國引進的 — 漸漸失去了話語權。當然，在我國文化中，中學教師自認為沒有發言權，可能是選擇沉默而且抗拒改變的最大原因。
1934 年夏天，遵照教育部的指示，北京師範大學舉辦了「中等教員暑期理科講習班」，從河北、河南、山東、山西、安徽省召集 200 名教師，其中數學組 50 多名。 初中和高中教師一起上課，每天講演和討論各兩個小時。 講習班為期 5 天。... 其中劉亦珩的講演內容採用了他的恩師小倉金之助的主張。 ... 講習班結束後，教師們認為有必要建立研究組織，從而成立了「中等數學教育研究會」。
1918 年 7 月，科學名詞審查會成立。... 算學名詞推定中國科學社提出名詞草案。 該社委託胡明復、姜立夫起草。1923 年 7 月在上海開會時，開始審查算學名詞，審查委員有：姜立夫（主席）、何魯（書記）、胡明復、吳在淵、段調元、段育華、顧珊臣、周劍虎、吳廣涵、胡敦復。 ... 工作尚未完成，此「審查會」就結束了，相關資料散佚無存 〔可能因為政權轉移到南京〕。有幸中國科學社於 1931 年 7 月在鎮江舉行年會時， 事先通知算學組專家到會，繼續審訂工作。... 1938 年 10 月正式出版了 《算學名詞匯編》（真善美印刷作品社），書中每一名詞後附英文名、法文名、德文名、日文名、定名和備考。
民國時期大學入學數學考試有五個顯著特徵：中國的大學，自始就有很大的自主權。這個情況直到對日抗戰，大學為了接受政府補助，才繳出了自主權，聯考與聯招在抗戰時期應運而生。戰爭早已結束，政府一直沒有歸還大學自主權，大學似乎也沒有認真爭取。〔p.314ff 呈現 1917 年北京大學入學考試數學試題，那是中文試卷。p. 316 呈現 1923 年北京大學入學考試數學試題，那是英文試卷。〕
- 各大學獨立命題自主招生
- 命題用中文或英文皆有
- 初中、高中的數學內容均在考試範圍
- 大學入學數學試題超出中學課程標準水平
- 男生和女生的試卷不同
1925 年《清華大學招生規程》...必考三科：並在以下三類各選至少一科，總共須選五科：
- 國文（論文及文學常識）、英文、本國歷史地理
- 初級代數、平面與立體幾何、平面三角、解析幾何
- 物理、化學、生物
- 世界歷史、世界地理、經濟學、心理學、政治學
以函數為綱，整理新的教材系統。這些當年的決議，如今看來只能說是具有遠見的倡議，要在 1976 年之後才有機會逐漸實現。
直至現在，許多資深的數學教育專家還認為，1963 年出版的中小學數學教材，是新中國成立以來較成功的數學教材。