八八學年機械一Ｂ微積分課程 ◆ 第 9 講

到目前為止，我們應該已經瞭解微分和積分個別的根本意義。那些意義 (用數學極限所做的定義) 才是本。而求導數的計算問題，本來是極需技巧或苦功的工作，但是對於基本函數而言，卻有相當豐富的公式 (formula) 和規律 (rules) 來幫助我們運算，進而大量降低求導數的困難度。我們倒也不能說，這些代數公式是末。但是，如果只顧背公式和練習演算，而不去瞭解它們的原意，那就真的可以說是本末倒置了。

之前我們從圖形、數值方面認識了微分。現在，我們要從代數方面來認識它。這一講的主題是六個微分律與冪函數的導函數公式。我們依以下順序，一面介紹微分律，一面推導公式。以下，令 m、n 為正整數。

xⁿ 的導函數公式。這是最基本公式，Pascal 就已經知道了。輕易可以發現，當 n=0 的時候此形式的公式也成立。
線性律。應用在多項式的導函數性質。
乘法律。
反函數微分律。應用求出 x 開 n 次方根的導函數公式。
連鎖律 (Chain Rule)。應用求出 x^n/m 的導函數公式。至此，發現 x^r，只要 r 是正有理數，導函數公式形式上皆相同。
隱函數微分律 (derivatives for implicit functions)。其實這只是連鎖律的一個應用。從這裡推導出來 1/x 的導函數公式。
除法律。其實這只是 (1/x)' 公式和連鎖律的一個應用。
最後，我們證明
(x^r)' = r x^r-1
這個微分公式對所有的有理數指數 r 都成立。
我們還沒有開始談無理數指數是什麼意義，所以就不去討論它的導函數公式了。

課本

4.1 4.2
請務必要閱讀課本內容，並且練習以下習題：
4.1: 4
4.2: 1--18 30 34 35 37 38 42 43

後記

今天沒有架設投影機，當然也沒有用遠距答題系統。因為資工的硬體還沒有來。結果，提早 20 分鐘就講完了課，效率奇佳，有充裕的時間進行測驗。

小考題目

這次的測驗是將答案寫在紙上。其中第一題在課堂中有過明顯的暗示。其他題目都是剛剛才講完的課題，而且同學們已經有些做導函數的技術底子，不知道考試結果如何。

$\displaystyle f(x) = \prod_{n=1}^{100} (x-n)$ ，求 f ' (x)
$\displaystyle y=\frac1{x^4}$ ，求 y '
$\displaystyle y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}$ ，求 y '
$\displaystyle y=x^\pi$ ，求 y '
f(x)=x⁷ + 5x⁵ +4x³ - 6x -7，求 f⁽⁷⁾(x)。
求 y²=3x³+1 在 (1,2) 處之切線斜率。
$\displaystyle y=\sqrt{2x-x^2}$ ，求 y '
滿分 10，應考 49 人，平均 8.2，標準差 1.76

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