八八學年機械一Ｂ微積分課程 ◆
第 16 講
今天的課程也是即興演出，沒有事先的腳本。
但是今天的內容並非以前沒有講過的，只是大量地重組了。
上一堂課講了數理邏輯的基礎，這一堂客開始講數學定義。
一再強調的是，定義沒有告訴我們怎麼做，它就像字典一樣，
告訴我們是什麼。
在實數、極限、連續這三個觀念上，我們如此闡述：
- 實數需要通過極限觀念來定義
- 極限需要在實數中才能討論
- 實數與極限使得函數的連續性討論有意義
- 極限的性質使得某些實數的計算有意義
- 函數的連續性觀念使得某些實數的計算有意義
所以我們認識到，實數可以說是人類智慧創造的產物。
為了使這個創造能夠自圓其說 (達到邏輯上的完備)，
兩個配套的觀念：極限與連續，必須同時成立。
而這三個人類的智慧創作，就形成了發展微積分理論的舞臺。
剩下的時間，我們可以深入探討實數和有理數的不同。
我們看到，正整數、整數、和有理數其實都一樣多。
但是我們沒有時間證明，實數個數比正整數個數多了很多。
不過，從機率眼光來看，在 [0,1] 區間中任選一個數，它是有理數的機率是 0。
換句話說，選到無理數的機率是 1。
似乎也可以從這裡認識到，無理數多了很多。
- 課本
- 補充教材，課本中沒有對應內容
- 後記
- 這一講的內容，最好能夠借到機械系的錄影帶，整理後補充寫上。
- 小考題目
-
今天沒有小考。
回上層
Created: Nov 22, 1999