八八學年機械一Ｂ微積分課程 ◆ 第 21 講

今天還是照著課本講。這些是以前講過的教材，但是一直沒有留下中文講義。前一講的內容是幾何與物理方面的積分應用示範，這一講的內容是金融與統計方面的積分應用示範。

金融方面，主要是現值與遠值的估計。至於消費者剩餘，只是介紹一個觀念和名詞，未能深入瞭解。

機率分佈函數方面，課本說得不錯，也較有實際的應用問題。特別要注意的是，分佈函數的解讀。若 p(x) 是一個機率分佈函數, p(x₀) 並不應該被解讀成恰好當 x=x₀ 的時候的百分比, 或機率. 因為恰好發生 x=x₀ 的機率可能應該是 0. 比如說, 若p(x) 是人口年齡的分佈函數, p(0) 大約是 1.7%, 似乎解釋成零歲的人口占總人口的 1.7%, 這不是很荒謬嗎? 正確的解讀是, 年齡在 0 到 h 歲之間 (h 是個頗小的數) 的人口比例大約是 1.7% 乘上 h. 一般說來, 當 h 是個頗小的正數的時候, 事件發生在 [x₀-h, x₀+h] 之間的機率是

$\begin{displaymath}\int_{x_0-h}^{x_0+h} p(x)\,dx \approx 2hp(x_0) \end{displaymath}$

我們在課堂上反覆提出這個概念，並分別用機率和分佈百分比的語言來描述。

課本

8.4 8.5 8.6
請務必要閱讀課本內容，並且練習以下習題：
8.4: 2 6 9 10
8.5: 6 10 12
8.6: 3 5 6 7 9
Review: 20 22 24 31 32

後記

因為時間不夠了，沒有介紹 8.6 最後的正規分佈 (normal distribution)。同學們請自修。

小考題目

事先印製了考卷。因為時間不夠，發回去當作家庭作業，隔天交回。

令 $\displaystyle y = e^{-x^2/2}$ ， $x\in(-\infty, \infty)$ ，求以此曲線為頂，以 x 軸為底，繞 y 軸旋轉所形成的體積。
回顧 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=c$ 的定義是
$\begin{displaymath}\foral \epsilon>0, \exists N \mbox{such that} n\geq N \Longleftrightarrow \vert x_n-c\vert<\epsilon \end{displaymath}$
試依此定義證明數列的夾擊定理：
若 $x_n\leq z_n\leq y_n$ 對所有整數 n 均成立，而且 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=a$ 和 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n=a$ 則 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} z_n=a$
滿分 10，42 人應考，平均 9.0，標準差 2.26

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