八八學年機械一Ｂ微積分課程 ◆ 第 26 講

我們算出 sinx、cosx 和 e^x 的泰勒多項式， 據此導出 Euler identity，然後偏離正題介紹了數學中最美的等式

• 實數級數的部分和、級數收斂的定義。
• 函數數列的逐點收斂定義，並以 xⁿ 為例。
• 函數級數的部分和、函數級數的收斂定義。
• 冪級數是函數級數的一種特例。
• 泰勒級數是冪級數的一種特例。
• 複習幾何級數。
• 幾何級數是一種泰勒級數的特例。
• 牛頓的二項式級數，也是一種泰勒級數的特例。

• 泰勒多項式沒有收斂或發散的問題，但是泰勒級數就有。
• 介紹收斂區間的觀念。
• 有些從幾何級數導出來的泰勒級數，知道收斂 (開) 區間， 但某些在端點上的收斂性只介紹不證明。
• 原則性介紹在整個實數域都收斂的泰勒級數。

至此，同學們應該可以領悟，為什麼我稱函數級數是一個

• 關於泰勒級數的歷史。
• 一份以前準備好的中文泰勒展開講義。

課本

10.2
請務必要閱讀課本內容，並且練習以下習題：
10.2: 1--5 7 8 10 11 19--24 28 29 31

後記

成功地函蓋了 10.2 和 10.4 的課本內容。但是 10.3 沒講完， 下次還要補充。習題也留到下次再給。10.4 的內容不全講，也不打算給習題。 可惜未能一氣呵成。否則是一場有效率的講課。

小考題目

事先印好考卷。

1. (2 分) 寫出 ln(1+x) 以 x=0 為參考點的三階泰勒多項式。
2. (3 分) 寫出 e^x 以 x=0 為參考點的三階泰勒多項式， 並計算
   
3. (5 分) 假設在一個容積 60 m³ 的房間內，某人開始吸煙。 他呼氣的速率是 0.002 m³/min， 而呼出空氣中的一氧化碳比例是 5% mg/m³。 假設呼出氣體立刻與室內空氣均勻混合， 而空氣流出室外的速率也是 0.002 m³/min。 令 C(t) 是室內空氣中一氧化碳的濃度 (mg/m³)， t 以 min 為單位。寫出 C(t) 的微分方程式，並求其平衡解。
4. 滿分 10，36 人應考，平均 3.0，標準差 2.01

回上層

• Back to the home page of Wei-Chang Shann.
• Connect to the home page of Department of Mathematics, National Central University, Taiwan.