所謂的費瑪最後定理, 其實是一個懸宕超過三百年的難題. 雖然稱之為定理, 但是其實在 1996 年以前應該說是猜想, 或是難題. 一直到 1996 年, 才終於有人提出完整的證明, 也因此這個猜想才名符其實的成為定理! 我個人, 就像許多數學的愛好者一樣, 光是因為生在這個定理被證明的同一個時代, 就覺得似乎分享了榮耀.
讓我們先來看看, 什麼是費瑪最後定理的問題? 這個問題, 就像許多數論中的問題一樣, 說起來非常簡單, 簡單到了迷人的地步, 簡單到了十歲小孩可以瞭解的地步. 可是認真要做的時候, 卻很難. 設 x, y, z, n 皆為正整數 (不包括 0), 考慮以下等式
所謂解, 就是一組正整數代入以上未知數的時候, 等式成立. 當 n=1 的時候, 上式無聊地簡單: 例如 x=1, y=1 和 z=2 就是一組解; 而 x=1, y=2 和 z=3 也是一組解. 很容易可以看得出來, 當 n=1 的時候, 上式有無窮多組解. 當 n=2 的時候, 上式就沒有那麼無聊, 它的意思是 x 與 y 的平方和等於 z 的平方. 根據 畢氏定理, 符合這個關係的三個正整數, 恰好可以成為直角三角形的三個邊長: 例如 x=3, y=4 和 z=5 就是一組解; 而 x=6, y=8 和 z=10 也是一組解. 當 n=2 的時候, 上式也有無窮多組解.
但是, 費瑪說, 只要 n 一旦超過 2 的時候, 上面那條等式就沒有正整數解了! 比如說, 你找不到三個正整數 x, y, z 使得 x3 + y3 = z3. 大約於 1637 年, 費瑪在一本翻譯成拉丁文的 Diophantus 之 Arithmetica 的邊框空白部分, 寫下這個「結論」, 並且說他發現了一個極漂亮的方法來證明這個「事實」, 但是他寫道, 可惜書旁邊的留白太小, 寫不下這個證明. 在費瑪過世之後, 他的兒子印刷出版了這一段話, 可是大家已經來不及請教這位一代大師了. 而原來寫上這段話的那本書從來沒有別人見過. 從此, 這就成了一個歷時三百年的懸案. 或許因為十九世紀時法國和德國分別有學會出高價懸賞這個問題的證明, 而提高了它的知名度.
據說, 就是為了害怕這樣的悲劇再一次上演, 所以現在的微積分課本, 大多印得非常厚, 以便在書頁的邊框留下非常寬的空白, 使得今天的大學生們不至於發生 邊框空白太窄而寫不下絕妙證明 的窘況.
本來在 1994 年的世界數學家大會 (ICM), Wiles 應該可以獲得費爾茲獎. 可惜當年他的證明被發現有些小錯誤. 雖然圈內人都樂觀地認為, 那是可以修正的錯誤, 但錯誤畢竟是個錯誤. 兩年後, 在全球矚目的壓力下, Wiles 和他的博士班學生一同修正了那些錯誤. 這一次, 他的證明通過了數學界同儕的檢驗, 確定 Wiles 證明了費瑪最後定理. 可是在 1998 年在德國的柏林舉行 ICM 的時候, Wiles 已經超過四十歲了, 因此按成規不能獲得費爾茲獎. 為了彌補這個使所有人都汗顏的遺憾, 大會史無前例地頒發了一個 特殊成就獎 給 Wiles. 頒獎當時, Wiles 以 Twenty Years of Number Theory 為題發表演講, 三千多人擠得會堂站無立椎之地. 當天發行的大會新聞報上寫著
即使 Wiles 證明了費瑪最後定理, 我們仍然相信, 這個複雜無比的證明, 不是費瑪當年想要寫在書的邊框空白內的那個證明. 而那是個什麼樣的證明呢? 是我們還沒發現, 還是費瑪當時想錯了 (因此他後來沒有發表, 也沒有回頭去把書旁邊的字擦掉)? 我們還是不得而知.