這是羅素提出的問題. 這個詭論揭發了一個數學基礎的問題. 今天的集合論已經知道要如何定義集合, 以避開這個詭論所提出的問題,
要介紹這個詭論, 我們首先定義一個集合 A = {x 是個集合 : x 不屬於 x}. 用自然語言來說, A 就是所有本身不屬於本身的集合所成的集合. 例如若 x 是所有正整數所成的集合, 則 1 和 2 都屬於 x, 但是 x 本身不屬於 x. 其實我們在數學中想到的集合大多是這種【本身不屬於本身】的集合. 對於不太熟悉數學語言的讀者, 請注意, 我們這兒談的是【屬於】而不是【包含於】. 在數學中討論的集合必定【本身包含於本身】. 再看一個例子, 現在我們由自然語言來定義一個集合. 比如說, 我們通常定義 網際網路 就是所有以 TCP/IP 為通訊協定的網路所成的集合. 例如中央大學的校園網路屬於 網際網路 這個集合, 但是 網際網路 本身也是以 TCP/IP 為通訊協定的網路, 所以 網際網路 也屬於 網際網路.
所謂羅素詭論, 就是問 A 是否屬於 A? 如果 A 屬於 A, 那麼根據 A 的定義, A 就不屬於 A. 如果 A 不屬於 A, 還是根據 A 的定義, A 就屬於 A. 所以 A 既不能屬於 A, 也不能不屬於 A.
羅素詭論後來有了一個生活白話版. 那就是, 如果一個村子裡的理髮師宣稱, 他【只替村子裡所有不自己理髮的人理髮】 那麼, 問他替不替自己理髮呢? 說到這裡, 各位都應該想起, 中國老早就有的一個故事, 所謂【以子之矛攻子之盾】的詭論. 其實羅素詭論和這個矛盾故事如出一轍.
這個詭論的功勞是, 發現了集合論的基礎並不穩固. 而當時人們卻認為數學是殿基於集合論的基礎之上. 因此今天的集合論課本, 都會特別規定一些形成集合的條件, 以避免這樣的詭論發生. 雖然我們可以在集合的定義上, 加一個條件而巧妙地避開這個詭論, 但是後來的 Godel, 卻用他的不完全定理告訴大家: 無論你有多麼的智巧, 像這樣的尷尬場面永遠也避不完. 羅素在得知 Godel 的不完全定理後, 高興地說還好他已經不做數學研究了.