Kurt G"odel (1906--1978)

他的姓氏中的 "o 代表字母 o 上面添兩點. Godel 是捷克人氏, 1906 年生於今天的 Brno (讀音類似英文的 Burnow, 當時是奧匈帝國的 Brunn). Brno 是捷克的第二大城, 位於捷克第一大城布拉格東南方約 180 公里, 在維也納的北方約 100 公里. 人稱捷克最偉大的兩位作曲家之一的 Janacek (1854--1928, 另一位是 Dvorak), 就在 Brno 渡過他生命中最主要的三十八年.

Godel 於 1924 年進入維也納大學. 本來想學物理, 據說因為聽了一門很精彩的數論課程, 改而學習數學. 他的老師之一, Hans Hahn, 將他引介進入所謂的維也納數學圈 (Vienna Circle). 但是 Godel 並不怎麼和圈內人處得來 (當時流行著實證主義). 但是, 自從大約 1888 年算起的五十年間, 奧地利學派湧現了許多邏輯學家和科學哲學家. Godel 是在這種氣氛中成長的.

十九世紀末的數學家, 懷抱著熱情的理想, 認為所有數學體系都可以由一組公設和一套邏輯推導出來. Hilbert 稱這是 Cantor 天堂. 在二十世紀初, 有許多具有這樣信念的數學家, 包括 Hilbert 他自己和聰明的 von Neumann. 例如懷海德 (Alfred Whitehead) 和羅素於 1913 年完成的一套巨著數學原理 (Principia Mathematica), 就是想要展現一個信念: 所有已知的數學都可以由一套公設出發, 經過嚴格的邏輯步驟推導出來. 就在大家都眼看著, 這偉大的 Cantor 天堂就要完工的時候, Godel 冷靜地 (很酷的) 在四周遊盪. 忽然, 他發現牆腳的一塊磚不對. 就像頑童一般, 他抽掉了一塊磚, 弄垮了整個天堂. 這就是 Godel 在 1931 年提出來的不完全定理 (Godel's Incompleteness Theorem).

所謂不完全定理就是說, 不論在什麼公設系統之內, 總會有個看起來很合理的敘述, 而無法在系統內被證明. 我們且不管如何嚴格的界定什麼叫做看起來很合理, 就看個例子吧. 在 Godel 的不完全定理之前, 就有羅素的集合詭論, 首度揭發了數學基礎的問題. 當初大家或許以為這只是個小洞, 花點特別的手腳把它補起來就好了. 但是 Godel 不這麼認為. 他從這個小洞繼續往裡面挖, 然後發現, 公設系統是永遠不會完備的.

讓我們用一個簡單的智慧拼盤遊戲來解釋什麼是不完全定理. 想像一個極簡單的智慧拼盤: 它只有四個空格和三個方盤 (通常的智慧拼盤至少有九個空格). 如果它在開始的時候排列如下:

        1  2
        3  X

其中 X 表示空格. 因此現在您只能將 2 向下移或是將 3 向右移. 稍微想一下, 您就會發現, 您沒辦法在這個拼盤中拼出以下的排列:

        2  1
        3  X

如果拿拼盤的初始排列當做一組公設, 而拼盤的遊戲規則當做邏輯, 那麼在這一套公設與邏輯系統之內, 就是無法造成像上面那樣的排列. 而上面那個排列, 是看起來很合理的一組排列.

後記：黃華民教授告訴我，他曾經指導一位碩士斑學生，以圖論之抽象模型與代數方法，證明了任意 n 乘 n 智慧拼盤 (n >= 2) 都是類似以上狀況：無法以拼盤的遊戲規則，將拼盤的 1 2 換成 2 1 而保持其他所有的數字位置不變。
2002/01/11

事實上, 前面那個拼盤問題還可以更複雜化. 比方說, 考慮一個三乘三的拼盤, 那麼如果您遵守拼盤的遊戲規則, 將無法從

        1  2  3
        4  5  6
        7  8  X

轉換到

        2  1  3
        4  5  6
        7  8  X

但是這個不可能性就比較不容易看出來了.

您會發現, 要解決上述的問題, 必須違反遊戲規則; 比如說將 1 號盤翹起來, 將 2 號盤移左邊, 然後把 1 號盤塞進 2 號盤原來的位置. 像這樣的做法, 就相當於我們在數學裡加一條公設, 以便能夠證明更多的定理. Godel 說, 不管你加多少公設, 總有一個敘述是證不到的. 而且這個敘述不見得荒謬無聊, 它很可能看起來很合理.

那麼, 到底在今天的數學知識中, 有沒有一個看起來很合理而且有意義的敘述, 卻是在今天作為數學基礎的公設系統中無法證明的呢? 有的. 一個例子就是連續統假設. 這個在 1873 年由 Cantor 提出的假設, Hilbert 在 1900 年將它列為一號問題. 這個假設就被證明了, 獨立於現今 (1998) 普遍被接受的集合論公設系統 (ZFC 系統) 之外; 也就是說, 在這套系統內, 既不能證明連續統假設是對的, 也不能證明它是錯的.

Godel 不完全定理的哲學意義, 應該如何解讀? 是數學具有局限性, 無法獲知所有的真理? 還是邏輯思維具有局限性, 無法推導所有的數學真理? 這一個問題, 應由哲學家去探討. 依羅素的看法, Godel 是個純粹的柏拉圖主義者. 這個名詞用在數學家的意思是, Godel 相信所有的數學真理是本來就存在的, 與人類的存在與行為無關. 所以人類的思維活動只是發現了真理, 而非發明. Godel 曾經寫過: concepts form an objective reality of their own, which we cannot create or change, but only perceive and describe. 我個人亦頃向於這種觀點. 所以, 我的個人意見是, 數學真理總是在那兒 (it is always out there), 透過人類的心靈與直覺, 我們早晚有探知的一天. 然而 Godel 的理論告訴我們, 嚴格的公設系統和邏輯推理固然在前 150 年獲得了光榮的成就, 卻終究是有局限性的. 總有一天我們會到達邏輯思維的邊界, 必須讓心靈逃脫這個桎梏, 才能超越. 就像前面的拼盤遊戲. 有時候我們必須將一塊數字盤翹起來, 經過第三度空間的移動, 才能到達目的.

當時年事已高的 Hilbert 起先對年輕無名的 Godel 存疑, 而對他的論述感到惱火. 年輕卻負盛名的 von Neumann 認為自己可以挑到 Godel 的錯誤, 他數度從睡夢中醒來, 以為自己找到了錯誤而起身想要寫下反證, 但都不得而成. 數學界終究接受了 Godel 的不完全定理. Hilbert 為此懊惱不已. 這也是數學獨特的地方: 當一個人的論述是對的, 他就可以被驗證而且被承認是對的. 不論他的年齡, 身份, 性別.

Godel 在 1933 年被邀請成為普林斯頓高等研究院 (Institute for Advanced Study in Princeton) 的研究員. 但是他只在那裡待了一學期就回到奧地利. 除了短暫的訪美行程, Godel 在 1932-1938 年間任職於維也納大學. 在那裡的數學系, 有一塊碑文, 寫著
Hier Wirkte KURT GODEL von 1932-1938
直到 1939 年納粹徵兵的時候, 他才和妻子橫跨了歐亞大陸, 渡過太平洋, 再橫跨北美洲, 到達普林斯頓. 此後他基本上一直待在那裡.

在普林斯頓的日子裡, 平常愛因斯坦每天早上走路到 Godel 門口, 兩人一起走去研究室, 一起回家. 相對於愛因斯坦這個新聞性人物而言, Godel 的生活應該是清靜很多的. 大約在 1996 年推出了一部電影, 女主角是梅格萊恩, 片名是 IQ 中文翻譯好像是【愛神有約】. 梅格萊恩飾演愛因斯坦的姪女. 那部電影裡面出現了三位愛因斯坦在普林斯頓的朋友, 並想像了他們的生活和友誼. 其中一位朋友就是 Godel.

Godel 有個與眾不同的邏輯思維方式. 他在數學裡發現了邏輯的不完備, 同樣的才能當然也應用在日常生活中. Godel 在美國住了幾年之後, 可以申請進入美國籍. 那時候愛因斯坦已經是美國人了. 一天早上, 愛因斯坦陪著 Godel 乘車出發到紐約去接受公民面試. 要申請入籍的移民, 都會領到一份標準的教材, 內容是美國的憲法和歷史. 公民面試就是問這些問題. 新移民不但要記憶這些事實, 更要宣誓服膺美國憲法. 不能免俗地, Godel 也閱讀了這些材料, 以備詢問. 當天早上, 愛因斯坦發現 Godel 的臉色不太好. 他以為 Godel 是為了要放棄原籍以便宣誓進入美國籍而難過, 所以就想了一些話來安慰他. 說著說著, 愛因斯坦講了一句話. 他說, 在美國, 至少我們不必擔心出現像希特勒那樣的集權統治者. 這句話像是刺痛了一個少女心事般地使得 Godel 當場大哭起來. 他抽搐地說: 恰巧相反 (On the contrary), 我就知道如何根據美國憲法辦到這件事...

據說整個早上, 愛因斯坦都在忙著引開 Godel 的想法, 叫他別去想那個問題. 我從書上讀到對愛因斯坦的印象, 似乎是個不食人間煙火的純潔學者. 從這個故事看來, 他至少比 Godel 要世故一點. 我很好奇 Godel 發現的美國憲法矛盾是什麼? 可惜傳記中沒有交代.

Godel 不顧家人和朋友的反對, 娶了一位在酒吧裡跳康康舞的女子為妻. 她的名字是 Adele Porkert, 比 Godel 大六歲, 沒受過什麼教育, 離過婚但沒有孩子. 他們在 1938 年結婚, 兩人的婚姻終老一生. Godel 是一個精神狀態不太穩定的人 (天才常常是這樣子的, 如果他的精神病症被治療好了, 說不定就沒有數學成就了). 據說只有 Adele 能穩定他的情緒, 使他保持生活上的軌道. 他有強烈的偏執, 總覺得有人要毒害他. 因此 Godel 只吃 Adele 餵給他的食物. Godel 夫人不能照顧他之後不久, 他就憂鬱厭食而去.

我的感覺是, Godel 是個唯一一類的數學家. 他靜靜地來, 輕輕地走. 這紛擾的數學邏輯基礎問題, 幾乎是由他一人引起, 也幾乎是由他一人清理乾淨.

最近出版了一本 Godel 的傳記, 該書的作者得到普林斯頓高等研究院的同意, 將 Godel 遺留下來的所有資料都交付研究. 這些資料裝滿了兩個高資料櫃和六十多個紙箱. 裡面甚至整齊排列了數十年來的水電費帳單和乾洗店的收據. 除此之外, 有一本高等研究院的野史書, 也可以一窺 Godel (和其他人) 的面貌.

Regis, Who got Einstein's office? Addison Wesley, 1987.
Dawson Jr, Peters, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Godel, Wellesley, 1997.