數學課程綱要

國小負數倡議

六年級的初步實驗

本文分享黃俊博的碩士學位論文。

• 黃俊博（2025）。 國小六年級負數教學的探討。國立中央大學數學系未發表之碩士論文。〔論文全文，PDF 檔案，3 MB〕

我請黃俊博做這一份碩士班研究的目的，是初步探究「負數進國小」的可行性。我們在臺北市大同區一所國小 — 不是俊博實習的學校 — 借到四個班級（共 76 名學生）做前測、兩節課實驗教學、後測，並對部份同學延後訪談。

支持此實驗可行的基本證據是美國、德國、英國、中國都在國小高年級引進負數，臺灣學生的資質並不比這些國家的同學差。或許臺灣平日生活遇不到負的溫度，但是這個生活環境中的限制，應該不至於嚴重到國小高年級學生完全沒有關於負數的生活經驗。譬如從新聞可以看到合歡山、玉山低溫的消息，在賣場、家裡的冷凍庫以及家人購買的冷凍外送，都可能潛移默化地引進負數觀念。（一位口試委員指出：芬蘭在國小中年級就可以引進負數了，參閱〈國小負數倡議之理念與期許〉。）

關於前述臆測，這篇碩士論文的「前測」已經表明六年級學生在正式學習負數之前，已經具備「負整數」的直覺認知；但此結論不能擴及「負分數」與「負小數」。但是，筆者臆測：小學生對於「負分數」與「負小數」的概念薄弱，源自於「正分數」與「正小數」概念的不穩固。揆諸林原宏、袁媛在「課綱研究 SIG：國小數學課程議題」中的發言：

• 林原宏指出小學數學課程缺乏把「分數看成一個數」的學習機會，可能因為小學教材過度執守「分數的平分」概念；
• 袁媛指出小學的數線教學缺乏意義，例如學生已經會算 $997+4$ 卻堅持要學生在數線上操作。

1. 把分數「看成一個數」同時跨出「分數即平分」之思維限制的關鍵教學，就是在數線上教導分數（與小數）；
2. 因為數線本質上是抽象的，所以小學生先學加減再學數線，是無可避免的。在數線上映證加減的意義 — 向前走、向後走 — 必須引進負數，否則難以產生學習的需求。

如〈國小負數倡議之理念與期許〉提及：西方某些國家在國小介紹負數之後，就引進平面直角坐標了。這是非常聰明的課程設計，它使得負數的功能先是「溝通」，延遲計算的需求，但也可能將簡單的加減孕育於遊戲或操作之中。但顧慮廣大國小教師的 PCK，筆者認為臺灣不宜貿然在國小引進坐標平面。假如在國小引進負數卻不設計坐標平面，那就剩下兩項想當然耳的學習目標：在數線上標示位置，以及正負數的加減。這兩項任務，就是俊博在兩節課的時間限制內，想要進行的實驗。在具體一點說，此次實驗不涉及「減負數」的計算，僅止於正負數加減一個（正）數，例如 $2-3$、$-3+5$、$-2-2$。

在文獻探討中，俊博回顧了負數概念、負數教學、負數課程。其一：負數之數學概念的發展，俊博提出幾個我以前還不知道的典故，有點意思。其二：負數的教學，因為「國小負數」在臺灣似乎是個禁忌話題，所以沒有臺灣的文獻可考，俊博找到法國「教學工法」學派的負數教學文獻，這個學派也是我跟許哲毓都注意的社群，所以讀起來特別有趣。而俊博對負數教學的提法，依循筆者的「數學作為一種語言」而發展，我給予相當的肯定。其三：負數課程，俊博擇要指出美國、英國、德國的官方課程文件相關準則，最後順道提到芬蘭某版教科書在四年級就呈現坐標平面，具有很高的參考價值（頁 20–22）。這一節負數課程回顧帶給我的最重要概念是：負數很早就搭配坐標平面教學，使得「標示」負數位置的操作，不限於數線而擴及平面，筆者揣度這樣設計的好處是：

• 若僅在數線上標示負數，顯得單調無聊，缺乏挑戰；
• 在坐標平面上設計的活動，使得負數打從一開始就伴隨著方向與位移的概念 — 而「方向」確實是「正負」的概念本質。

克萊茵 (M. Kline, 1908–92) 在 Mathematical Thought From Ancient to Modern Times 說過「負數是具體數學走向形式數學的第一步」。「使用負數」和「接受負數」是兩個不同的層次 ...

在我們都熟悉的負數應用於現實生活的意涵以外，俊博在美國課標和頁 29–30 提供另一項有趣的具體意涵：電荷。筆者認為電荷很適合作為正負數的概念心像，但前提是物理知識能配合。在小學階段，電荷這個物理真實可能愛莫能助。

就總分來看，學生在「前測」就已經表現不俗：有 70% 學生達到相當於 80 分以上（頁 50）；這讓「後測」的進步顯得不太重要，就是平均成績提高了一點點，但重要的是標準差縮小為一半（頁 57）。這已經顯示，就臺北市大同區這些六年級學生而言，負數的基本課程 — 標示、相較、加減 — 是可習得的（我們只實驗了兩節課）。實驗教學中稍稍涉及方向性。這個概念或許是前後測「進步」最多的項目。確實：在教學前，大約三分之二學生能自發連結正負與方向，在教學後則幾乎是全體學生都能了（頁 73）。礙於時間限制，我們的實驗很少涉及「方向／位移」；其實也是因為筆者認為臺灣不容易馬上執行這個課題，它需要較多的教師在職培訓。

所謂「進步」並不重要，重要的是發現了小學生表現的主要困難：

1. 難以在數線上標示負分數、負小數，也難以比較它們的大小。前面說過，筆者認為此徵狀反映出來的病因是：也難以在數線上標示正分數、正小數。
2. 相對而言，負小數的掌握略優於負分數。這個現象也是合理的：小數在生活中顯然比分數更常遭遇。筆者認為：小數是生活經驗，分數是純數學。雖然在數學邏輯上，小數是分數的特例，但課程設計應該盡量讓小數先行，讓小數作為分數的前置經驗；這又是「知難行易」。

很可惜的是，這份研究忘記了一件重要工作：延後測，所以不知道學生保留了多少？亡羊補牢的作法，是在一年後找回 11 名學生 — 當時已經在國中學過負數單元了 — 舉行半結構訪談（頁 86–89）。我獲得的印象是：學生多半表示已經忘了小學那兩堂負數課的具體內容，但是都能回答俊博的提問。我希望這樣詮釋：就像張三丰教太極劍似的：全都忘了就學成了。

俊博參閱外國教科書時，發現一個有趣的建議：不要使用括號。例如，他們寫 ${}^-5+4$、$8+{}^-4$，或者 ${}_-10+{}_-7$。這很可能有道理，值得我們試試：用括號包住負數，可能增加了數學的形式化，加重了認知負荷；而且這種表達方式可能減弱了負數作為一個「數」的符號訊息，因為括號（括弧）的意義傾向於算式的先後序，用它表達一個「數」違背了過去累積的經驗。（頁 90）