積分

在微積分中除了導函數 (微分) 外還要討論 (定) 積分 (definite integral). 積分概念是從計算面積演化而來, 完全嚴謹的介紹留待下編, 在此我們先用面積的直觀來解釋一下積分. 設 f(x) 為定義在 [a,b] 上的有界函數. 再令 f 的函數圖在 x 軸上方和 x 軸所夾部份的面積為 A₊, 在 x 軸下方和 x 軸所夾部份的面積為 A_-. 則 f 在 [a,b] 上的積分, 即 $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$, 可定義為

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = A_+ - A_-.$$

積分的計算通常借助反導函數,其道理大致如下:

設 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$, $c\in[a,b]$, h>0, c, c+h 都在 [a,b] 內. 再令 M(h) 表 f 在 [c,c+h] 間的最大值, m(h) 表 f 在 [c,c+h] 間的最小值. 則因 F(c+h)-F(c) 表示在 [c,c+h] 上 f 在 x 軸上部圖形的面積和在 x 軸下部圖形的面積的差, 所以有

$$m(h)\leq \frac{F(c+h)-F(c)}h \leq M(h). \eqno(1)$$

此式當 h<0 時亦成立. 一般而言, 當 $h\rightarrow 0$ 時 m(h) 和 M(h) 不一定會有極限. 但是假若

$$\lim_{h\to0} m(h)=f(c) = \lim_{h\to0}M(h), \eqno(2)$$

那麼由夾擠定理立刻就得到

$$F'(c)=f(c) \eqno(3)$$

這個結論固然不錯, 但是它是在 (2) 的條件下導出來的. 條件 (2) 相當於 f 在 c 點連續. 又 f 在 c 和 c+h 間不一定會有最大值和最小值. 對這種 f, M(h) 和 m(h) 的選擇要修改. 不過對連續函數這些都不成問題.

把這個結論配合上均值定理 (見下章), 可得微積分的基分定理: 設 f 和 F 為 [a,b] 上的連續函數, 且對 $x\in(a,b)$, 有 F'(x)=f(x), 則

$$\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b)-F(b)$$

　　

有關積分的一些基本公式, 高中都有介紹, 此處不贅. 積分除了求面積外, 還有不少應用. 茲舉二則其它應用如次:

A. 旋轉體 (surface of revolution) 的體積.

設 f(x) 為間隔 [a,b] 上的正值連續函數. 則直線 y=0, x=a, x=b 和曲線 y=f(x) 所圍成的區域繞 x軸旋轉所成的旋轉體的體積為

$$\pi\int_a^b f(x)\,dx.$$

B. 功 (work) 的計算.

功的計算完全靠積分. 此處僅舉最簡單的情形如次: 設一質點在 x 軸上運動. 設它在點 x 處所受的力的水平分力為 f(x). 則當它從點 x=a 的位置移動到點 x=b 時, 所作的功為

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

　

習$\quad$題

1.

求下列諸導函數:
(a) $$\frac{d}{dx}\ln\vert x\vert$$,     (b) $$\frac{d}{dx}(\ln x)^{3}$$,     (c) $$\frac{d}{dx}x\ln x-x$$,(d) $$\frac{d}{dx}\ln(\ln x)$$ where x>1,     (e) $$\frac{d}{dx}\ln\vert\sec x+\tan x\vert$$,(f) $$\frac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{1+x^2})$$,     (g) $$\frac{d}{dx}\ln\vert\cos x\vert$$.

2.

求下列諸積分. (可利用上題的結果.)
(a) $$\int_{-3}^{-2} \frac{dx}{x}$$,     (b) $$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x\ln x}$$,     (c) $$\int_{1}^{2} \ln x\,dx$$,(d) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec x\, dx$$,     (e) $$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$,     (f) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx$$