指數函數和對數函數

指數函數是指 a^x, 式中 a 為實數. 同學們大概能說出 x 為正負整數或以奇數為分母的既約分數時 a^x 的意義, 若 x 為以偶數為分母的既約分數, 則 a^x 只當 a>0 時為實數. 因為在本課程中只談實數, 不談虛數, 所以以下我們假定 a>0.

但若 x 為無理數, 我們還沒給 a^x 下過定義, 為此我們須使用上文索引入的連續函數的觀念. 由前面的極限定理可知; 設 f(x) 在 a 連續, $\alpha$, $\beta$ 為常數, 則

(1)

$\alpha f(x) + \beta f(x)$ 在 a 連續.

(2)

f(x)g(x) 在 a 連續.

(3)

再設 $g(a) \neq 0$, 則 f(x)/g(x) 在 a 連續.

由例 1 和例 3 知多項式及都是連續函數. 利用上面性質 (3), 可知有理函數在有定義的地方也都連續. 另外, 若 f'(a) 存在, 則 f 在 a 連續. 所以, $\sin x$, $\cos x$ 等許多三角函數都是連續函數. (請參考本章末的習題 11).

在下篇中, 我們將證明當 a>0 時有一個定義在整條實數軸上的連續函數 f(x), 使當 x 為有理數時有 f(x)=a^x. 對 x 的無理數值, 我們仍用 a^x 代表 f(x), 而稱之為指數函數 (exponential functions). 換言之, 我們可以連續地把 a^x 的定義域從有理數延拓到整條實數軸.

在高中課本裡引進了一個怪數

$$\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = 2.7182818...,$$

稱之為自然對數的底. 這極限的存在一點也不明顯, 而在教育部的高中課程標準中又明令禁止證明它的存在. 在本教材的下冊中我們將對 e 詳加討論, 函數 e^x 也可以寫作 $\exp x$, 而稱之為自然 (natural) 指數函數.

若 x=a^y, 我們稱 y 為 x 以 a 為底的對數 (logarithm), 寫作

$$y=\log_a x.$$

以 e, 10 和 2 為底的對數都非常重要, 因此都以特別的符號來表示, $\log_e x$ 叫做自然對數 (natural logarithm), 可以表作 $\ln x$ 或 $\log x$. 但 $\log x$ 也常常用來表示常用對數 (common logarithm) $\log_{10}x$. $\log_2 x$ 是組合學和計算機科學上常見的函數, 現在很多人用 $\mbox{lg} x$ 表示它.

自然對數函數和自然指數函數的微分公式是

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac1x, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x.$$

利用公式

$$a^x=\exp(x\ln a), \quad \log_a b\,\log_b c =\log_a c$$

可得

$$\frac{d}{dx} a^x=a^x\ln a, \quad \frac{d}{dx} \log_a x= \frac1{x\ln a}.$$

又當 x>0 時, 從公式 $x^r=\exp(r\ln x)$ 可得

$$\frac{d}{dx} x^r = rx^{r-1}$$

習$\quad$題

1.

證明 $$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$.

2.

證明對任何實數 x 均有 $\vert\sin x\vert \leq \vert x\vert$.

3.

證明 $\sin x$ 和 $\cos x$ 都是連續函數.

4.

Sketch the graphs of the following functions, with a discussion of their monotonicity (where are they increasing or decreasing?) and concavity (where are they concave upward or downward?), and locate their extrema and points of inflection, if any:
(a) x³-2x²-x=9, (b) $$x+\frac1x$$, (c) $$\frac12 x^2+\frac14\sin 2x$$.