函數的近似計算

Taylor (泰勒) 多項式可用來計算函數的近似值. 設 f(x) 在 c 點有 1 階、2 階乃至 n 階的導數, 則多項式

$$T_{n}(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^{2} +\cdots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}$$

稱為 f(x) 在 c 點處的 Taylor 多項式. 在 c 點處 f(x) 和 T_n(x) 的值、它們的導數、二階導數、$\cdots$、 n 階導數的值均相等. 因此在 c 點附近, T_n(x) 常常是 f(x) 的很好的近似值. T₁(x) 的圖形即 f(x) 在點 (c,f(c)) 的切線, T₂(x) 也是常常用得到的近似函數.

一切有關近似值得計算都應配合以誤差的討論, 以 Taylor 多項式做函數的近似值時的誤差, 叫做餘式, 將於下篇中詳論.

以上是高中微積分課程的大綱. 在我們的課程中這些都假定為已知.

習$\quad$題

1.

請判別下列各極限值是否存在, 若存在, 求其極限值.
(a) $$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+1}{x^3-3x^2+4}$$,     (b) $$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+1}{x^3+3x^2-4}$$,     (c) $$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-1}{x^3-3x^2+2}$$,
(d) $$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x}{\vert x\vert}$$,     (e) $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\vert x\vert}$$,     (f) $$\lim_{x\rightarrow2}(\frac{3x}{x-2}-\frac{6}{x-2})$$,
(g) $$\lim_{x\rightarrow2}[(\frac{1}{x}-\frac{1}{2})(\frac{1}{x-2})]$$,     (h) $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin ax}{\sin bx}$$, 式中 $b\neq0$.

2.

設

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -1, &\mbox{$x>0$},\\ 1, &\mbox{$x<0$}. \end{array} \right.$$

請判別下列二極限值是否存在, 若存在, 求其極限值.
(a) $$\lim_{x\rightarrow0}f(x)$$,     (b) $$\lim_{x\rightarrow0}\vert f(x)\vert$$.

3.

令 A 為集合 $\{\pm\frac{1}{n}\mid n=1,2,3,\ldots\}$定義 $f:[-1,1]\longrightarrow\mathbb{R}$ 為

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 10^{-100}, & \mbox{當 $x\in A$... ..., & \mbox{當 $x\in[-1,1]\setminus A$ 時}. \end{array} \right.$$

對任一 $x_{0}\in(-1,1)$, 問 $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$$ 是否存在; 若存在, 求其極限值.

4.

令 A 如 3 題, 定義

$$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n}, & \mbox{當 $x=\fr... ... & \mbox{當 $x\in[-1,1]\setminus A$ 時}. \end{array} \right.$$

對任一 $x_{0}\in(-1,1)$ 問 $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$$ 是否存在; 若存在, 求其極限值.

5.

定義 $h:[-1,0) \cup (0,1] \rightarrow\mathbb{R}$ 如下: 當 $\vert x\vert \in(1/(n+1),1/n)$ 時，h(x) 之值定為 1/n, 若 $x_{0}\in(-1,1)$, 問 $$\lim_{x \rightarrow x_{0}} h(x)$$ 是否存在; 若存在, 求其極限值.

6.

定義 $\chi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 如下:

$$\chi(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{若 $x$ 為有理數}, \\ 0 & \mbox{若 $x$ 為無理數} \end{array}\right.$$

$\chi$ 稱為有理數集合的特徵函數 (示性函數, characteristic function 或 indicator function) 問哪些數 x₀ 可使 $$\lim_{x \rightarrow x_{0}} \chi(x)$$ 存在?

7.

試討論函數 $$\frac{1}{1-x^{2}}$$ 的單調性、 凹口方向及極值, 並繪出其圖形.

8.

(a) 設 a, b 是給定的實數, 試證

$$\lim_{x \rightarrow \infty}[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x]=\frac{a+b}{2}.$$

(b) 設 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 是實數, 試証

$$\lim_{x \rightarrow \infty}[\sqrt[k]{(x+a_{1})(x+a_{2})\cdots(x+a_{k})}-x] =\frac{1}{k}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}).$$

9.

(a)設 m 為正整數, 則由微分公式 (x^m)'=mx^m-1 知

$$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{m}-1}{x-1}=m.$$

試利用極限的運算公式驗證這結果.
(b) 仿 (a) 利用例 3 及極限的運算公式驗證

$$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{x-1}=\frac{1}{m}.$$

(c) 設 m, n 為正整數, 試證

$$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\frac{n}{m}$$

(d) 設 p, q, s, t 為正整數, 試證

$$\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{p/q}-1}{x^{r/s}-1}=\frac{ps}{qr}.$$

10.

設 f, g 都是 n 次可微, 則 f(x)g(x) 亦 n 次可微, 且

$$[f(x)g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \left(\!\!\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\!\!\right) f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x).$$

註. 本公式稱為 Leibnitz rule. $\left(\!\!\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\!\!\right)$表示自 n 元素中選 k 元素的選法的個數.

11.

當 $x \neq 0$ 時設 $f(x)=\frac{x}{\pi}+x^{2}\sin\frac{1}{x}$, 又設 f(0)=0. 試証 $f'(0)=\frac{1}{\pi}>0$, 但不可能有 s>0 使得 f 在 (-s,s) 間為增函數.
提示. 設 k 為正整數, $x_{2}=(2k\pi-\frac{\pi}{2})^{-1}$, $x_{1}=(2k\pi+\frac{\pi}{2})^{-1}$, 則 x₂>x₁, 而 f(x₂)<f(x₁).