函數的極限

設 f 在 c 點附近有定義. 假若``只要 x 和 c 充分接近, f(x) 就可以與 $\ell$ 任意接近'', 則稱 x 接近 c 時, f(x) 以 $\ell$ 為極限. 我們用

$$\lim_{x\to c}f(x)=\ell$$

表之.

上面的定義非常含糊. 嚴謹的定義留待下冊. 關於函數的極限也有些運算的公式. 因為高中課本已經詳細討論過這些公式, 也因為它們和數列的極限的運算公式非常相似, 所以我們在此不再重複. 在下編中我們將把這些公式詳細推導出來.

高中課程還提到下面的所謂夾擠定理: 設 $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}h(x)=\ell$, 且有某 s>0, 使在 0<|x-c|<s 的範圍內 $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ 成立, 則

$$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\ell$$

本定理的證明也留到下編. 在討論 $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\ell$ 時, 通過 $(c,\ell)$ 點做兩條直線, 其斜率分別為 $\pm K$, 式中 K 為一正數. 這兩條直線把平面分成四部份, 其中有兩部份包含著水平的直線 $y=\ell$. 如果曲線 y=f(x) 落在這兩部份之內, 換言之, 如果當 $x\neq c$ 但和 c 很接近時, 有

$$\vert f(x)-\ell\vert\leq K \vert x-c\vert$$

這時條件``只要 x 和 c 充分接近, f(x) 就可以與 l 任意接近''顯然符合. 於是

$$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\ell$$

成立. 這也可以從夾擠定理看出. 底下是一些應用的例子:

例 3   $$\lim_{x\rightarrow c}(a_0 x^n+a_1 x^n-1+ \cdots +a_n) =\lim_{x\rightarrow c} \sum_{k=0}^{n} a_k x^{n-k}$$

$$=\sum_{k=0}^{n} \lim_{x\rightarrow c} a_k x^{n-k} =\sum_{k=0}... ... a_k(\lim_{x\rightarrow c}x)^{n-k} =\sum_{k=0}^{n} a_k c^{n-k}$$

例 4   試證 $$\lim_{x\rightarrow 5}{\sqrt{x}}=\sqrt{5}$$

證明. 因 $\sqrt{x} \geq 0$, 故 $\sqrt{x}+\sqrt{5}>1$, 從而

$$0 \leq \vert\sqrt{x}-\sqrt{5}\vert =\vert\frac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}\vert \leq \vert x-5\vert$$

但 $\lim_{x\rightarrow 5}\vert x-5\vert=0$, 由夾擠定理得 $\lim_{x\rightarrow 5} \sqrt{x}=\sqrt{5}$.

例 5   設 m 為正奇數, $c\neq 0$, 求證 $$\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{c}$$

證明. 令 $s=\frac12 \vert c\vert$. 則 s>0. 當 |x-c|<s 時, $\sqrt[m]{x}$ 和 $\sqrt[m]{c}$ 同號. 故對 $k=1,2,\ldots,m$, $(\sqrt[m]{x})^{m-k}(\sqrt[m]{c})^{k-1}>0$. 在 |x-c|<s 範圍內,

$$0\leq \vert \sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{c} \vert =\frac{\vert x-c\ve... ...]{c})^{k-1}} \leq \frac{(\sqrt[m]{c})^{m-1}}{\vert x-c\vert}.$$

由夾擠定理得知 $\lim_{x\rightarrow c} \sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{c}$.

註. 上面討論也可用來證明若 n 為正整數, c>0, 則 $\lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{c}$. 這些事實在習題中要用到. 在這二例中, c=0 時也成立, 只是不能用這種方法證明.

例 6   試證 $$\lim_{x\rightarrow 0}\cos \frac1x$$ 不存在.

證明. 我們用歸謬法. 先假設 $\lim_{x\rightarrow 0}\cos \frac1x$ 存在. 其值為 $\ell$. 我們希望從這裡導出矛盾. 對 $n=1,2,3,\ldots$ 令

$$x_n=\frac{1}{2n\pi}, \quad y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi}.$$

當 $n \rightarrow \infty$ 時 $\lim x_n=\lim y_n=0$, 所以

$$\ell=\lim_{x\rightarrow 0}\cos \frac{1}{x} =\lim_{n\rightarro... ... \frac{1}{x} =\lim_{n\rightarrow\infty}\cos \frac{1}{y_n}=-1.$$

但 $\ell$ 不可能又是 1 又是 -1. 此矛盾由假設 $$\lim_{n \rightarrow 0} \cos \frac 1x$$ 存在而來. 所以 $$\lim_{n \rightarrow 0} \cos \frac 1x$$ 不存在.

例 7   定義 f(x) 如下: 當 x 是無理數時定義 f(x)=0, 而當 x 是有理數, 且 x 表成既約分數時為 $\frac nm$, m>0, 則定義 $f(x)=\frac 1m$ 則 $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=0$ 對一切實數 c 都成立. 此我們只討論 c 是有理數的情形. 設 $c=\frac pq$ 其中 p 是整數, q 是正整數, p 和 q 互質. 再假定 x=n/m, 其中 n 是整數, m 是正整數, n 和 m 互質, 且 $x\neq c$. 則

$$\vert x-c\vert=\vert\frac nm -\frac pq\vert =\vert\frac{nq-mp}{mq}\vert\geq\frac{1}{mq}=\frac{f(x)}{q}.$$

故有 $\vert f(x)\vert=f(x)\leq q\vert x-c\vert$. 此式當 x 為無理數時也成立. 由夾擠定理得

$$\lim_{x \rightarrow c}f(x)=0$$

在例 6 中 $\lim_{x \rightarrow c}f(x)$ 不存在. 還有些複雜的例子, $\lim_{x \rightarrow c}f(x)$ 存在, 卻不能確知其數值. 另外如例 3、例 5, 則 $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$, 即當 x 趨近 c 時, f(x) 不但有極限, 而且極限值為 f(c). 這種特性通常稱為 f 在 c 點為連續函數 (continuous function). 假若對間隔 I 內的每一點 c, $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$ 都成立, 則稱 f(x) 在 I 上(到處)連續. 在 I 上連續函數的直觀想法是繪製 y=f(x) 的圖形時可以保持筆尖不離紙面. 從例 3 得知多項式函數在實數軸上是到處連續的.

習$\quad$題

1.

求證 $$\lim_{n \rightarrow\infty}\sqrt[n]{3}=1$$. 提示: 利用例 1 中 $0\leq\theta _{n}\leq\frac 2n$ 的結果.

2.

求證 (a) $$\lim_{n \rightarrow\infty} \sqrt[n]{\frac 15}=1$$, (b) $$\lim_{n \rightarrow 27}\frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}-3}{x-27} =\frac {1}{108}$$.

3.

求證 $$\lim_{n \rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+an+c}-\sqrt{n^2+bn+d}) =\frac 12 (a-b)$$.

4.

設 a,b,c 為實數. 試計算 $$\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+a}(\sqrt{x+b}-\sqrt{x+c})$$.

5.

試證 $$\lim_{x \rightarrow 7}\sqrt{x}=\sqrt{7}$$.

6.

試證明當 $1\leq x\leq 3$ 時, $\vert x^2+x-6\vert\leq 6\vert x-2\vert$. 從而導出 $$\lim_{x \rightarrow 2}(x^2+x+3)=9$$.

7.

證明 $$\lim_{x \rightarrow 0}\sin{\frac 1x}$$ 不存在.

8.

證明 $$\lim_{x \rightarrow 0} x\sin\frac 1x=0$$.