微分

有了極限觀念後, 導函數 (derivative) 的定義便很容易了: 函數 f(x) 的導函數便是

$$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

導函數 f'(x) 在某一點 x=a 處的值 f'(x) 也叫 f 在 a 處的導數或微分商 (differential quotient).

導函數觀念來自物理學上的速度和幾何學上切線的斜率. 設在一直線上已選定座標系. 若一質點在該直線上運動, 當時間為 t 時其位置的座標為 f(t), 則當時間為 t 時其速度為 f'(x). 再者, 曲線 y=f(x) 在其上一點 (a,f(a)) 處的切線公式為

$$\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a).$$

一般講來, 極限未必存在, 導函數亦然. 如果某函數的導函數在一點處存在, 我們便說它在該點處可微 (differentiable). 關於導函數的計算有四則運算的公式和連鎖律 (chain rule) 等, 茲介紹如下: 設 f(x) 及 g(x) 為可微函數, $\alpha$ 及 $\beta$ 為實常數, 則

(1)

$[\alpha f(x)+\beta g(x)]'=\alpha f'(x)+\beta g'(x)$,

(2)

[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x),

(3)

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x),

且當分母 $g(x)\neq 0$ 時

(4)

$$[\frac{f(x)}{g(x)}]' =\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$.

以上公式 (2) 叫乘法律 (product rule), 公式 (3) 叫連鎖律, 公式 (4) 叫除法律 (quotient rule).

有人從乘法律證出除法律, 方法如下: 令

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

則 f(x)=g(x)h(x). 由積的微分公式得 f'(x)=g(x)h'(x)+g'(x)h(x). 將 h'(x) 解出並將 h(x) 用其定義代入, 便得到了除法律. 這方法看似簡潔, 但事實上遠遠不如高中課本裡的證法. 因為需要假定了商 h(x) 的導函數存在, 而在高中課本裡的證明, 這存在也是結論的一部份.

導函數也叫一階導函數, 它的導函數叫二階導函數, 等等. 導函數可以用來確定函數的走向以為繪製曲線之用, 其法如下: 首先利用函數 f(x) 的導函數確定它的增減 (monotonicity) 與極值 (extrema); 若在某區間內 f'(x)>0, 則 f(x) 在此區間內為增 (increasing) 函數, 即若 $\alpha < \beta$ 為區間中之二點, 則必有 $f(\alpha)<f(\beta)$. 若 f'(x)<0, 則函數為減 (decreasing) 函數, 即若 $\alpha < \beta$ 為區間中之二點, 則必有 $f(\alpha)>f(\beta)$. 若 f'(a)>0, 則有某 s>0 使當 $a-s<\alpha<a<\beta<a+s$ 時必有 $f(\alpha)<f(a)<f(\beta)$ (參考本章最後的習題 11). 若 f'(a)<0, 情況剛好相反. 因此若可微函數 f 在 a 取得極值, 則 f'(a)=0. f 的導函數等於 0 的地方稱為 f 的臨界點 (critical point). 函數在臨界點未必有極值, 但若 f'(a)=0, f''(a)>0, 則 f 在 a 有極小值, 反之若 f'(a)=0, f''(a)<0, 則 f 在 a 有極大值. 此事讀者請自行證明. 若一函數 f 為二次可微, 且在某區間內 f''(x)>0, 則稱函數在此區間內凹口向上 (concave upward), 若 f''(x)<0, 則函數凹口向下 (concave downward). 改變凹口方向的地方叫作曲線的反曲點 (美: point of inflection, 英: point of inflexion). 在反曲點處恆有 f''(x)=0. 利用函數的單調性、凹口方向、極值和反曲點, 我們很容易把曲線描繪出來.

數學的符號和名詞並不是一成不變的, 端視討論問題的人相互的瞭解而定. 數學有其具體的內涵, 不是符號遊戲或文字遊戲. 符號和名詞僅為討論問題的人相互溝通而設. 例如以上增函數的定義, 是高中課本中採用的, 我們將稱之為嚴格 (狹義 strictly) 增函數. 若對 f(x) 的定義域中的任二點 a,b, 當 a<b 時恆有 $f(a)\leq f(b)$, 我們便說 f(x) 是廣義增函數, 簡稱增函數. 廣義增函數也叫 non-decreasing function. 嚴格減函數及 (廣義) 減函數的名詞仿此.