三角函數

在高中時代, 先是把三角函數看成角的函數, 後來又把三角函數看成實數的函數: 設 x 為實數, A 為 x 弧度 (radian) 的角, 即單位圓上長度等於 x 的圓弧所對的圓心角, 則 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$ 和 $\csc x$的意義分別是 $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$, $\cot A$, $\sec A$ 和 $\csc A$. 注意: $\sin x$ 和 $\cos x$ 定義域都是 $\mathbb{R}$ 全部, 但其餘四個三角函數的定義域只是 $\mathbb{R}$ 的子集合, 即 $\tan x$ 和 $\sec x$ 的定義域為

$$\mathbb{R}\backslash \{n\pi +\frac{\pi}{2}:n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\},$$

而 $\cot x$ 和 $\csc x$ 的定義域為

$$\mathbb{R}\backslash \{n\pi : n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}.$$

求 $\sin x$ 的導函數時, 我們需要不等式

$$\sin x < x <\tan x, \qquad x\in (0,\frac{\pi}{2}).$$

利用這個不等式, 可以證明

$$\lim_{n \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$

從而可得

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.$$

同學們不訪回憶一下推演這個公式的手續. 有了這個公式, 其餘幾個三角函數的導函數便很容易求得了. 即

$$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx} \cos x &=& -\sin x,\quad \frac{d}{dx} \tan x = \se... ... x &=& \sec x \tan x,\quad \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x. \end{eqnarray*}$$