Cauchy 的推廣

Cauchy 把單變數微分學的均值定理中的圖形想成參數式 (g(t), f(t)), $a\leq{t}\leq{b}$, 因而把 Lagrange 的均值定理推廣成下形式:

Cauchy's Mean-Vaule Theorem. Let f(t) and g(t) be continuous functions on [a,b] such that they are both differentiable in (a,b). Then there exists a number $\tau\in{(a,b)}$such that

$$f'(\tau)[g(b)-g(a)]=g'(\tau)[f(b)-f(a)]. \eqno(3)$$

證明. 令

$$h(t)=(g(b)-g(a))(f(t)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(t)-g(a)),\quad a\leq{t}\leq{b},$$

則 h 在 [a,b] 連續, 在 (a,b) 中可微, 且 h(a)=h(b)=0. 由均值定理知有一點 $\tau\in{(a,b)}$ 使 $h'(\tau)=0$. 代入整理後即得(3)式. 明所欲證.

讀者若還不明白證明中 h(t) 的由來, 請再研究 Langrange 均值定理證明前的討論, 並請注意此處考慮的曲線是 $(g(t),f(t)),a\leq{t}\leq{b}$, 而 A=(g(a),f(a)),B=(g(b),f(b))二點的連線的方程式可取為 (g(b),g(a))(y-f(a))-(f(b)-f(a))(x-g(a))=0. 所以 |h(t)| 其實是 (g(t),f(t)) 到 AB 連線的常數倍.

下面習題的第 11, 12, 13 題是均值定理的另外一些推廣.