微分學的均值定理

令 F(x) 為 [a,b] 中某連續函數 f(x) 的不定積分. 則 F'(x)=f(x). 從微積分的基本定理知

$$F(b)- F(a)=\int_a^b{f(x)} \,dx$$

從積分學的均值定理在 [a,b] 中的一數 $\xi$, 使

$$F(b)-F(a)=F'{(\xi)(b-a)}$$

Lagrange 發現不需 F' 在 [a,b] 中連續的假定也可以得到上面結論. 以下就是他所發現的微積分均值定理.

Mean-Value Theorem (1 variable,differential calculus). Let f(x) be a continuous function on [a,b]. Assume that f'(x) exists in (a,b). Then there exits a number $\xi\in{(a,b)}$ such that

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a). \eqno(2)$$

我們先解釋一下證明的構想. 利用函數圖形, 均值定理的結論可說成: 在 f(x) 的圖形上一定有某處 $(\xi,f(\xi))$, 其切線和 A=(a,f(a)) 與 B=(b,f(b) 二點的連線平行. 這結論在直觀上似乎相當明顯; 只要把 AB 向旁邊平行推移, 當移到即將離開 f 的圖形時立即停住就行了. 亦即若 $(\xi,f(\xi))$ 是函數圖上距 AB 最遠的地方, 則此 $\xi$ 符合要求. 據此我們要研究 (x,f(x)) 到 AB 的距離. 因此從點 ( x₀,y₀) 到直線 $\alpha{x}+\beta{y}+\gamma=0$ 的距離為 $${\left\vert\frac{\alpha{x_{0}}+\beta{y_{0}}+\gamma}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}} \,}\right\vert}$$, 故若 y=L(x) 是 AB 連線的方程式, 則 $\left\vert f(x)-L(x)\right\vert$ 和 (x,f(x)) 到直線 AB 的距離成正比. 因此只須找 $\left\vert f(x)-L(x)\right\vert$的最大值所在即可. 去掉絕對值符號, 那麼 $\left\vert f(x)-L(x)\right\vert$ 取的最大值或最小值的地方就是符合條件的 $\xi$.

以下我們把上面的想法寫成完整的證明:

證明. 對 $x\in{[a,b]}$ 定義

$$L(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),$$

$$h(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$

則 L 和 h 都在 [a,b] 上連續, 在 (a,b) 中可微, 且

$$h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a};\quad h(a)=h(b)=0.$$

若 h 在 [a,b] 上恆為 0, 則 (a,b) 中任意數 $\xi$ 均符合 $h'(\xi)=0$, 亦即 (2) 式. 所以我們假定 h(x) 不恆為 0 .如此 h 的最大值和最小值不會同時發生在端點, 於是在 (a.b) 有一點 $\xi$, 於此 h 取得最大值或最小值. 由已知定理得 $h'(\xi)=0$, 這也就是說 (2) 式成立. 明所欲證.

本定理的一個特例是
Roll's Theorem. Let f(x) be a continuous fuction on [a,b]. Assume that f'(x) exists in (a,b). If f(a)=f(b), then there exists a number $\xi$ in (a,b) such that $f'{(\xi)}=0$.

很多高中數學中用過而未證明的結果可以由均值定理推出.茲舉二例如下:

系一. 若 f'(x) 在一間隔中到處為 0, 則 f(x) 在此間隔中為一常數.

系二. 若 f'(x) 在一間隔中到處 $\geq{0}(>0)$, 則 f(x) 在此間隔中為一增函數 (嚴格增函數); 若 f'(x) 在一間隔中到處 $\leq{0}(<0)$, 則 f(x) 在此間隔中為一減函數 (嚴格減函數).