Hyperbolic Functions

高中微積分只講單變數函數的微積分, 但也沒有把這部份講完. 在本章和下章中我們把這些補足. 除了下章集中講積分的技巧外, 所有其餘的題材都集中在本章之中. 首先, 我們先引入一些新的函數. 和三角函數類似的, 有六個函數, 稱為 hyperbolic function (雙曲函數), 其中兩個叫做 hyperbolic sine 和 hyperbolic cosine, 定義如下:

$$\sinh x = \frac {e^{x}-e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac {e^{x}+e^{-x}}{2}.$$

其餘的 hyperbolic tangent, hyperbolic cotangent, hyperbolic secant, hyperbolic cosecant, 可由這兩個函數如下定義出來:

$$\tanh x= \frac {\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x= \frac {1}{\... ...x= \frac {1}{\cosh x}, \quad \hbox{csch}x= \frac {1}{\sinh x}.$$

在以下的討論中, 我們以 $\sinh x$ 和 $\cosh x$ 為重點. 經過簡單的計算可得

$$e^{x}=\sinh x+\cosh x,\quad e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$$

因

$$\begin{eqnarray*}e^{x+y}&=&e^{x}e^{y}\\ &=& (\cosh x+\sinh x)(\cosh y+\sinh y)\... ...=& \cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y +\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y, \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*}e^{-(x+y)}&=&e^{-x}e^{-y}\\ &=& (\cosh x-\sinh x)(\cosh y-\sin... ...=& \cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y -\cosh x\sinh y-\sinh x\cosh y. \end{eqnarray*}$$

將二式相加減後用 2 除, 乃得以下的兩個加法公式:

$$\cosh {(x+y)}=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y, \eqno(1)$$

$$\sinh {(x+y)}=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y, \eqno(2)$$

這兩個公式和三角函數的加法公式相當, 在公式(1)中以 y=-x 代入, 乃得

$$\cosh^{2} x-\sinh^{2} x=1, \eqno(3)$$

在公式(1)和(2)中以 y=x 代入, 乃得

$$\cosh {2x}=\cosh^{2} x+\sinh^{2} x=1+2\sinh^{2} x=2\cosh^{2} x-1, \eqno(4)$$

$$\sinh {2x}=2\sinh x\cosh x. \eqno(5)$$

$\sinh x$ 和 $\cosh x$ 的導函數可直接以定義推出, 即

$$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x, \quad\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x.$$

以下說明 hyperbolic functions 命名的由來:

設 t>0. 則 $(\cosh t, \sinh t)$ 落在第一象限中雙曲線

x²-y²=1

的一枝上. 在 (1,0) 和 $(\cosh t, \sinh t)$ 間雙曲線段和 x 軸所夾的面積為

$$I=\int_{1}^{\cosh t}\sqrt{x^2-1}dx.$$

在這積分中以 $x=\cosh u$ 代入, 乃得

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{I=\int_{0}^{t}\sinh {2u}\,du =\int_{0}^{t}\frac{1}{2}(... ...sinh{2t}-\frac{t}{2} =-\frac{1}{2}\cosh t \sinh t-\frac{1}{2}t. \end{eqnarray*}$$

我們想像一動點自 (1,0) 沿雙曲線移動至 $(\cosh t, \sinh t)$ 處, 則原點和該動點連線所掃過的面積是

$$\frac{1}{2}\cosh t\sinh t-I=\frac{1}{2}t$$

換言之, 在此雙曲線上取一點 (x, y). 若一動點自 (1. 0) 至此點沿雙曲線移動. 若原 點和該動點連結成的線段所掃過的面積的 2 倍為t, 則有

$$x=\cosh t,\quad y=\sinh t$$

我們知道三角函數的別名叫做圓函數 (circular function). 所以有這個別名, 是因 為在單位圓周上取一點 (x, y) 時, 若 (1, 0) 和 (x, y) 間的圓弧和原點所張的扇形的面積的 2 倍為 t, 則 $x=\cos t$, $y=\sin t$. 上述結果和這事實十分相似; 因此乃有 hyperbolic functions 之名稱.