反函數

設 f 為從集合 A 到集合 B 的映射. 若 x, $y R\in{A}$, 且當 f(x)=f(y) 時必有 x=y, 則稱 f 為 one-one 映射. 若對任意的 $z\in{B}$, 均有 $x\in{A}$ 使 f(x)=z, 則稱 f 為 onto 映射. 既 one-one 又 onto 的映射, 叫做一一對應. 設 A, B 為數的集合, f 為從集合 A 到集合 B 的一一對應. 則對任意的 $z\in{B}$, 均有唯一的 $x\in{A}$ 存在, 使 f(x)=z. 這方法對每一個 z 找到 x 和它對應, 遂定義了一個新的映射 x=g(z). 映射 g 叫作 f 的反映射; 它的定義域 (domain) 和值域 (range) 分別是原映射 f 的值域和定義域. 映射 f 的 反映射 g 常以 g=f^-1 表示. 值域為數的集合的映射通稱函數. 我們習慣上用 x 代表函數的自變數. 在談 f(x)時, x 在 A 中變易, 而在談 g(x) 時, x 在 B 中變易. 反函數的例子極多. 如 x-3 便是 x+3 的反函數. 在高三的課中, 雖然沒有具體引入過反函數的名詞, 但讀者若細察對數函數的定義, 可知它便是指數函數的反函數. 一般地講, 一個狹義增或減的函數必有反函數. 若一函數沒有反函數, 我們可以縮小它的定義域, 使它有反函數. 令 D 表函數 f 的定義域, 即若 $f:D\rightarrow \mathbb{R}$, $V={f(x):x \in{D}}$ 稱為 f 的像 (image). 當我們縮小定義域至 D 的子集合 D' 以定義反函數時, 通常不能把 D' 選得太大, 才能使得 f 在 D' 上為一一函數, 但也不願把它選得太小, 因為我們也希望維持函數的像 V 不變.

例如 f(x)=x² 沒有反函數, 它的像是 $\{0\}$ 和正實數所形成的集合. 如果我們把它的定義域也縮小為 $\{0\}$ 和正實數, 那麼反函數就存在了: 它便是 $\sqrt{x}\,$. 但這種縮小定義的方法並不是唯一的; 我們也可以把它縮小為 $\{0\}$ 和所有負實數, 這時反函數是 $-\sqrt{x}\,$, 或縮小為 $[-1,0]\cup(1,\infty)$, 這時反函數當 $x \leq 1$ 時是 $-\sqrt{x}$, 當 x>1 時 $\sqrt{x}$. 在描繪函數的圖形時, 我們也習慣以 x 軸表自變數, 以 y 軸表函數. 當我們在一張透明的紙上繪出一個函數的圖形, 將該紙沿直線 y=x 旋轉 $180^{\circ}$, 於是紙的背面變成了紙的正面, x 軸和 y 軸的位置互換了, 而原函數的圖形也就變成了它的反函數的圖形. 設 f 為區間 (a,b) 中的連續狹義單調函數. 我們假定 f^' 在 (a,b) 中存在, 且到處 $\neq{0}$. 令 g 為 f 的反函數. 如果我們假定 g^'(x) 存在, 則其值可依下法計算之: 從反函數的定義知 f(g(x))=x. 利用連鎖律將兩邊微分得

$$\displaystyle{f^{'}\displaystyle{(g(x))}}\displaystyle{g^{'}(x)}=1.$$

因此有

$$\displaystyle{g^{'}(x)}=\displaystyle\frac{1}{f^{'}(g(x))}.$$

這就是反函數的微分公式. 若 y=g(x), 則 x=f(y). 上公式可記作

$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$$

這是能幫助記憶的寫法, 但是使用時必須把它的意義弄清楚, 才不致出問題.

這公式的幾何意義非常明顯: 當我們將一個函數的圖形沿直線 y=x 旋轉 $180^{\circ}$ 至紙的反面時, 它的切線的斜率便變成其倒數了. 假若原函數在 (x₀,y₀) 處有非水平的切線, 則經旋轉 $180^{\circ}$ 後變成反函數在 (y₀,x₀) 處有非鉛直的切線.

習$\quad$題

1.

設 a, b 為實數, 且 $b\neq{0}$, 試證

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sinh ax}{\sinh bx}=\frac{a}{b}$$

2.

試導出 $\tanh x$ 的加法公式.

3.

試求 $\tanh x$, $\coth x$, $\hbox{sech}x$ 和 $\hbox{csch}x$ 的導函數.

4.

令 f(x)=x⁴+4x-1.
(a) 求 f 的定義域 D 與像 V.
(b) 試描繪出 f 的圖形.
(c) 取 D 的子集合 D', 使 f 在 D' 上為一一函數, 且其像不變.

5.

令 f(x)=(x+1)(x²+3x-4).
(a) 求 f 的定義域 D 與像 V.
(b) 試畫出 f 的圖形.
(c) 取 D 的子集合 $\tilde{D}$, 使得 f 在 $\tilde{D}$ 上為一一的, 且其像仍為 V.

6.

設 f(x) 為 (a,b) 中的可微增函數, $c\in{(a,b)}$, f(c)=d, f'(c)=0, g=f^-1. 試證 g 在 d 處必不可微.