Inverse Hyperbolic Functions

我們討論過六個 hyperbolic functions, 其中 $\sinh x$, $\cosh x$ 和 $\tanh x$ 的反函數將有用處, 所以有需要給予適當的考慮.

A. 因為 $\sinh x$ 的導函數 $\cosh x$ 到處為正, 所以它是一個狹義增函數. 不須縮減它的定義域便可定義其反函數. 這時的問題便是給定 x 要解 y 的方程式

$$x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$$

則

e^2y-2xe^y-1=0

解之, 乃有 $e^{y}=x\pm{\sqrt{1+x^{2}} \,}$. 但 e^y>0 恆成立. 故式中只能取正號. 乃有 $e^{y}=x+\sqrt{1+x^{2} \,}$. 這便是說

$$y=\sinh^{-1} x=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}} \,)$$

將這公式兩邊微分, 乃得

$${\frac{d}{dx}}{\sinh^{-1}{x}}= \frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}} \,}\... ...\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}} \,}\right)= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} \,}$$

這公式也可以改寫成不定積分的形式如下:

$$\int\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} \,}dx=\sinh^{-1}{x}+C =\ln{x+\sqrt{1+x^{2}} \,}+C.$$

B. $\cosh x$ 當 x<0 時是狹義減函數, 當 $x\geq0$ 時是狹義增函數. 所以當 x=0 時, $\cosh x$ 取得極小值 1. 我們把 $\cosh x$ 的定義域限制在 $[0,\infty)$. 令

$$x=\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y} \,}{2}$$

則

e^2y-2xe^y+1=0.

解之, 乃有 $e^{y}=x\pm{\sqrt{x^{2}+1 \,}}.$ 但當 x>1 時 $x+\sqrt{x^{2}-1 \,}>1$, 而

$$x-\sqrt{x^{2}-1 \,}=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1 \,}}<1.$$

因 $y\geq{0}$, 故有 $e^{y}=x+\sqrt{x^{2}-1 \,}$. 這便是說

$$y=\cosh^{-1} x=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1 \,}).$$

將這公式兩邊微分, 乃得

$$\frac{d}{dx}\cosh^{-1}{x}= \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1} \,}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1} \,}\right)= \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1} \,}$$

這公式也可以改寫成不定積分的形式如下:

$$\begin{eqnarray*}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx &=& \left\{ \begin{array}{ll}... ...} \end{array}\right. \\ &=& \ln\vert x+\sqrt{x^{2}-1}\,\vert+C. \end{eqnarray*}$$

C. 讀者可自行驗證 $\tanh x$ 是增函數,其值在 (-1,1) 內. 令

$$x=\tanh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}$$

則 (1-x)e^2y=1+x. 解之乃有

$$y=\tanh^{-1} x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$$

將上式兩邊微分，遂有

$$\frac{d}{dx}\tanh^{-1} x= \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)}= \frac{1}{1-x^{2}}$$

這公式也可以改寫成不定積分的形成如下:

$$\int\frac{1}{1-x^{2}}dx=\tanh^{-1} x+C.$$

事實上這公式僅當 |x|<1 時成立. 若 |x|>1, 則此積分可用 $\coth^{-1} x$ 表示, 讀者可自行導出. 但從以上討論的過程中, 我們也得到

$$\int\frac{1}{1-x^{2}}dx= \frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert+C.$$

而這公式對一切 $x\neq1$ 都成立.

習$\quad$題

1.

(a) 設 $\sin{\theta}=s$, 試證必有一整數 n, 使 $\theta=n\pi+(-1)^{n}\arcsin s$.
(b) 設 $\cos{\theta}=c$, 試證必有一整數 n, 使 $\theta=2n\pi+\arccos c$ 或 $2n\pi-\arccos c$.
(c) 設 $\tan{\theta}= t$, 試證必有一整數 n, 使 $\theta=n\pi+\arctan t$. (d) 試求出有關其他三個反三角函數的類似結果.

2.

設 $\theta=\arcsin x$. 試將 $\cos {\theta}$, $\tan {\theta}$, $\cot {\theta}$, $\sec{\theta}$, $\csc {\theta}$ 表示成 x 的函數.

3.

求下列諸函數的導函數, 每題需有計算過程:
(a) $x\arcsin x$,     (b) $\arccos[(2x+1)^2]$,     (c) $(2x+1)\arctan x$,
(d) $\cot^{-1}(\sin x)$,     (e) $\hbox{arcsec}(x-x^{2})$,     (f) $\sin x(\hbox{arccsc}x)$,
(g) $\cos^{-1}(x^{2}+x)$.

4.

令 $T_{n}=\cos (n\arccos x)$, 式中 $n=0, 1, 2,\cdots$ 試證

(1-x²)T_n''(x)-xT_n'(x)+n²T_n(x)=0.

註. T_n(x) 叫做第一種 n 階 Tchebycheff 多項式.

5.

函數

$$\mbox{gd} x=\int_{0}^{x}\hbox{sech}t\,dt$$

叫做 x 的 Gudermannian. 試證
(a) $\mbox{gd} x=2\arctan e^{x}- {\pi/2}$.
(b) $\sinh x=\tan (gdx),\hbox{csch}x=\cot (\mbox{gd} x)$,
(c) $\cosh x=\sec (gdx),\hbox{sech}x=\cos (\mbox{gd} x)$,
(d) $\tanh x=\sin (gdx),\coth x=\csc (\mbox{gd} x)$,
(e) $\mbox{gd}^{-1} y$ 存在, 且等於

$$\int_{0}^{y}\sec tdt.$$

註. Gudermann 引入函數 $\mbox{gd} x$ 的目的是利用 $\mbox{gd} x$的函數表配合三角函數表以查出 hyperbolic functions 的值.