簡單的三角代換

被積分函數可表成 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的函數時, 除了前面介紹過的 u = $\tan \frac{x}{2}$ 代換外, 有時可以試試下述的代換是否適用: 若積分呈 $$\int f(\sin x, \cos x)\cos x\,dx$$ 之形, 令 $u=\sin x$. 若積分呈 $$\int f(\sin x, \cos x)\sin x\, dx$$ 之形, 令 $u=\cos x$.

令 $x+2=\sqrt3 \sec u, u\in[0, {\pi}/2)\cup [\pi, {3\pi}/2)$, 則

$$\sqrt{x^2+4x+1}=\sqrt{(x+2)^2-3}=\sqrt{3\tan^2u}=\sqrt3\tan u.$$

故

$$\int\sqrt{x^2+4x+1}\,dx=3\int\tan^2u\sec u\,du=3\int(\sec^{3}u-\sec u)\,du$$

$$=3\sec u\tan u-3\int\sec u\tan^2u\,du-3\ln \vert\sec u+\tan u\vert+C'.$$

遂有

$$\int\sqrt{x^2+4x+1}\,dx=\frac{3}{2}\sec u\tan u-\frac{3}{2}\ln \mid\sec u+\tan u\mid+C'.$$

故所求積分

$$=\frac{(x+2)^2-(x+2)\sqrt{x^2+4x+1}}{6}+\frac{1}{2}\ln \mid x+2+\sqrt{x^2+4x+1}\mid+C.$$