用 hyperbolic functions 的代換

仿上節 $\sqrt{x^2\pm a^2}$ 的問題也常可用 hyperbolic functions 代換, 舉例如下:

例 30   設 a>0, 求 $$\int\frac{dx}{x+\sqrt{x^2+a^2}}$$.

解. 令 $x={a}\sinh{t}$, 則 $\sqrt{x^2+a^2}={a}\cosh{t}$.

$$\begin{eqnarray*}{\textup{原式}}&=&\int\frac{\cosh{t}}{\cosh{t}+\sinh{t}}\,dt=\i... ...\frac{1}{2}\int(1+e^{-2t})\,dt=\frac{t}{2}-\frac{1}{4}e^{-2t}+C. \end{eqnarray*}$$

因 $$t=\sinh^{-1}\frac{x}{a}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln a,$$
故 $$e^{-2t}=(\frac{a}{x+\sqrt{x^2+a^2}})^2=\frac{1}{a^2}(\sqrt{x^2+a^2}-x)^2.$$
故該積分等於

$$\frac{1}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})-\frac{1}{4a^2}(\sqrt{x^2+a^2}-x)^2+C.$$

例 31   求 $$\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+2}}$$.

解. 設 $x-1=\sinh t$, 即 $t=\ln (x-1+\sqrt{x^2-2x+2})$. 則 $dx=\cosh t \,dt$, $\sqrt{x^2-2x+2}=\cosh t$.

$$\textup{原式}=\int_{\ln (\sqrt{5}-2)}^{0}\,dt=-\ln (\sqrt{5}-2)=\ln (\sqrt{5}-2).$$

你如果記得 $\sinh^{-1}x$ 的導函數的公式的話, 本題亦可寫成

$$\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+2}}=\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2+1}}=\sinh^{-1}(x-1)\mid_{-1}^1$$

$$=-\sinh^{-1}(-2)=\sinh^{-1}2=\ln (2+\sqrt{5}).$$

例 32   求 $$\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{x-1+\sqrt{x^2-4x+3}}$$.

解. 因 x²-4x+3=(x-2)²-1, 知當 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 時, 2-x>1. 故可令 $2-x=\cosh t$, t>0. 於是

$$t=\cosh^{-1}(2-x)=\ln (2-x+\sqrt{x^2-4x+3}).$$

又 $dx=-\sinh t \,dt$, $\sqrt{x^2-4x+3}=\sinh t$. 故

$$\begin{eqnarray*}\textup{原式}&=&\int_{\ln (2+\sqrt{3})}^{\ln \frac{3+\sqrt{5}}{... ...t{3}-\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{2}\ln \frac{4+2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}. \end{eqnarray*}$$