不能用初等函數表示的不定積分

很多初等函數, 其不定積分不再是初等函數, 底下是一些例子. $$\int \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(x-b)(x-c)}}, \quad a < b < c.$$ $$\int \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2 )(1-k^2 t^2 )}}, \quad k\neq 0, \pm 1.$$ $$\int \frac{du}{\sqrt{1-k^2 \sin ^2 u}}, \quad k\neq 0, \pm 1.$$
以上三個積分是橢圓積分的例子. $$\int e^{-x^{2}} \,dx$$(正規分佈函數, normal distribution function), $$\int \frac{\sin x}{x} \,dx$$,     $$\int \frac{\cos x}{\sqrt x} \,dx$$,     $$\int \frac{dx}{\ln x}$$,     $$\int e^{x} \ln(1+x)dx$$.

有時候雖然某些函數的不定積分不能算出, 但它們在某些間隔上的定積分卻可以算出來. 這種計算當然不能用微積分的基本定理, 而是靠被積分函數的一些特殊性質. 例如若 f(x) 為定義在 [-a, a] 上的連續奇函數, 則不論 $$\int f(x) dx$$ 能否用初等函數表示, 我們都有

$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0.$$

另外一個的例子是

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

此式我們將在第六章證明.